חזקות — כיתה י"א · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $2$ — רושמים $27=3^{3}$, לכן $x+1=3$ ומכאן $x=2$.
2. $x>2$ — רושמים $4=2^{2}$. הבסיס $2>1$ ולכן הפונקציה עולה, ומאי-השוויון $2^{x}>2^{2}$ נובע $x>2$.
3. $10$ — רושמים $1024=2^{10}$, ולכן $2^{x}=2^{10}$ ומכאן $x=10$.
4. $8$ — רושמים $256=2^{8}$, ולכן $2^{x}=2^{8}$ ומכאן $x=8$.
5. $x>3$ — רושמים $27=3^{3}$. הבסיס $3>1$ ולכן הפונקציה עולה, ומאי-השוויון $3^{x}>3^{3}$ נובע $x>3$.
6. $2$ — לפי חוק חיבור לוגריתמים: $\log_{7}7+\log_{7}7=\log_{7}(7\cdot 7)=\log_{7}49=2$.
7. $x>2$ — רושמים $49=7^{2}$. הבסיס $7>1$ ולכן הפונקציה עולה, ומאי-השוויון $7^{x}>7^{2}$ נובע $x>2$.
8. $64$ — לפי הגדרת לוגריתם: $x=2^{6}=64$.
9. $3$ — רושמים $32=2^{5}$, לכן $x+2=5$ ומכאן $x=3$.
10. $2$ — רושמים $32=2^{5}$, לכן $x+3=5$ ומכאן $x=2$.
11. $0$ — לפי הגדרת לוגריתם: $\log_{10}1=0$ כי $10^{0}=1$.
12. $x>5$ — רושמים $32=2^{5}$. הבסיס $2>1$ ולכן הפונקציה עולה, ומאי-השוויון $2^{x}>2^{5}$ נובע $x>5$.
13. $2$ — לפי הגדרת לוגריתם: $\log_{8}64=2$ כי $8^{2}=64$.
14. $2$ — לפי הגדרת לוגריתם: $\log_{9}81=2$ כי $9^{2}=81$.
15. $5$ — רושמים $243=3^{5}$, ולכן $3^{x}=3^{5}$ ומכאן $x=5$.
16. $x>3$ — רושמים $8=2^{3}$. הבסיס $2>1$ ולכן הפונקציה עולה, ומאי-השוויון $2^{x}>2^{3}$ נובע $x>3$.
17. $2$ — רושמים $125=5^{3}$, לכן $x+1=3$ ומכאן $x=2$.
18. $1$ — לפי חוק חיסור לוגריתמים: $\log_{7}49-\log_{7}7=\log_{7}\frac{49}{7}=\log_{7}7=1$.
19. $2$ — רושמים $36=6^{2}$, ולכן $6^{x}=6^{2}$ ומכאן $x=2$.
20. $4$ — לפי הגדרת לוגריתם: $\log_{10}10000=4$ כי $10^{4}=10000$.