טריגונומטריה — כיתה י׳ · יסודות בגרות

פתרונות

1. 8/√3 — tan(30°) = BC/AC ⇒ BC = AC·tan(30°) = 8·(1/√3) = 8/√3.
2. 10√3 — sin(60°) = ניצב/יתר = ניצב/20. ניצב = 20·sin(60°) = 20·(√3/2) = 10√3.
3. 225√3/4 — AB = AC·cos(30°) = 15·(√3/2) = 15√3/2. BC = AC·sin(30°) = 15/2. שטח = (15√3/2)·(15/2) = 225√3/4.
4. 12/13 — היתר = √(25+144)=13. הזווית הגדולה היא הנגדית לניצב הגדול (12). sin = 12/13.
5. 73.7° — גובה לבסיס = √(100−36)=8. חצי זווית הראש: tan(α)=6/8 ⇒ α=36.87°. זווית הראש = 73.74°.
6. 5√2 — במשולש ישר זווית עם זווית 45° שני הניצבים שווים. ניצב = יתר·sin(45°) = 10·(√2/2) = 5√2.
7. 36.87° — tan(זווית) = BC/AB = 6/8 = 0.75. זווית ≈ 36.87°.
8. 5√3/2 — גובה = 5·sin(60°) = 5·√3/2.
9. y=12, sin=12/15=4/5 — y = √(225−81) = √144 = 12. sin(זווית מול y) = y/15 = 12/15 = 4/5.
10. 3/5 — sin A = מול/יתר. הצלע מול זווית A היא BC = 3, והיתר הוא AB = 5. לכן sin A = 3/5.
11. 4/5 — cos A = ליד/יתר. הצלע הצמודה לזווית A (שאינה היתר) היא AC = 4, והיתר הוא AB = 5. לכן cos A = 4/5.
12. 3/4 — tan A = מול/ליד = BC/AC = 3/4.
13. 5/13 — sin α = מול/יתר = 5/13.
14. 3/5 — הזווית הקטנה ביותר נמצאת מול הצלע הקטנה ביותר (3). היתר הוא 5. לכן sin = 3/5.
15. 15/17 — היתר = √(64+225) = √289 = 17. הזווית מול 8 צמודה ל-15. cos = ליד/יתר = 15/17.
16. 6/10 — הצלע מול זווית C היא AB = 6, היתר הוא AC = 10. sin C = 6/10.
17. 7/25 — כאשר α + β = 90°, cos β = sin α (זהות הזוויות המשלימות). לכן cos β = 7/25.
18. 1:1 — tan α = מול/ליד = 1 משמעו שהניצבים שווים. היחס הוא 1:1 (משולש ישר זווית שווה שוקיים).
19. 9/12 — הניצב השני = √(15² − 9²) = √(225 − 81) = √144 = 12. tan = מול/ליד = 9/12.
20. 15/17 — זה משולש פיתגורי 8-15-17. sin α = מול/יתר = 15/17. ניתן לוודא: sin²+cos² = 225/289 + 64/289 = 1.