📐

נוסחאות טריגונומטריה — sin cos tan וזהויות

דף הנוסחאות המלא לטריגונומטריה: הגדרות sin, cos, tan במשולש ישר-זווית, הזהות הטריגונומטרית הבסיסית, וחוקי המשולש הכללי (משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים). הדפיסו ושמרו ליד המחברת.

טבלת הנוסחאות

סינוס במשולש ישר-זווית

sin (α) = \frac{ניצב מול הזווית}{היתר}

מתי משתמשים: מגדיר את הסינוס של זווית חדה במשולש ישר-זווית.

דוגמה: יתר

= 10

, ניצב מול

α

שווה

6

\Rightarrow sin (α) = 0.6

קוסינוס במשולש ישר-זווית

cos (α) = \frac{ניצב צמוד לזווית}{היתר}

מתי משתמשים: מגדיר את הקוסינוס של זווית חדה במשולש ישר-זווית.

דוגמה: יתר

= 10

, ניצב צמוד

= 8

\Rightarrow cos (α) = 0.8

טנגנס במשולש ישר-זווית

tan (α) = \frac{ניצב מול הזווית}{ניצב צמוד לזווית} = \frac{sin ( α )}{cos ( α )}

מתי משתמשים: מחשבים כשיש שני הניצבים, או ישירות מ-sin ו-cos.

דוגמה: מול

= 6

, צמוד

= 8

\Rightarrow tan (α) = 0.75

הזהות הטריגונומטרית הבסיסית

sin^{2} (x) + cos^{2} (x) = 1

מתי משתמשים: מחלצים sin מ-cos (ולהפך) בלי לדעת את הזווית עצמה, ומוכיחים זהויות טריגונומטריות.

דוגמה:

sin (x) = 0.6 \Rightarrow cos^{2} (x) = 1 - 0.36 = 0.64 \Rightarrow cos (x) = 0.8

משפט הסינוסים

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}

מתי משתמשים: מקשר צלעות וזוויות נגדיות במשולש כלשהו (לא רק ישר-זווית).

דוגמה:

a = 10, sin A = 0.5, sin B = 0.8 \Rightarrow b = \frac{10 \cdot 0.8}{0.5} = 16

משפט הקוסינוסים

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C

מתי משתמשים: מוצאים צלע שלישית כשידועות שתי צלעות והזווית ביניהן (או להפך — זווית משלוש צלעות).

דוגמה:

a = 3, b = 4, C = 9 0^{\circ} \Rightarrow c^{2} = 9 + 16 - 0 = 25 \Rightarrow c = 5

שאלות נפוצות

מה הנוסחאות של sin cos tan?

sin(α) = ניצב מול הזווית ÷ יתר. cos(α) = ניצב צמוד לזווית ÷ יתר. tan(α) = ניצב מול ÷ ניצב צמוד = sin(α) / cos(α). כל ההגדרות במשולש ישר-זווית.

מהי הזהות sin²x + cos²x = 1?

זו הזהות הטריגונומטרית הבסיסית ביותר, נכונה לכל זווית x. היא נובעת ממשפט פיתגורס על מעגל היחידה, ומשמשת לחילוץ sin מ-cos או להיפך, ולהוכחת זהויות נוספות.

מתי משתמשים במשפט הסינוסים ומתי במשפט הקוסינוסים?

משפט הסינוסים (a/sinA = b/sinB = c/sinC) כשיש זוג צלע-זווית נגדית ידוע. משפט הקוסינוסים (c² = a² + b² − 2ab·cosC) כשידועות שתי צלעות והזווית שביניהן, או שלוש הצלעות כולן.

מהם ערכי sin cos tan בזוויות המיוחדות?

ל-0°: sin=0, cos=1, tan=0. ל-30°: sin=½, cos=√3/2, tan=√3/3. ל-45°: sin=cos=√2/2, tan=1. ל-60°: sin=√3/2, cos=½, tan=√3. ל-90°: sin=1, cos=0, tan אינו מוגדר.

המשיכו ללמוד ולתרגל

← כל דפי הנוסחאות