סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 30° — סכום זוויות משולש = 180°. נסמן הזוויות: x, 2x, 3x. x + 2x + 3x = 180° → 6x = 180° → x = 30°. הזווית הקטנה = 30°.
2. 36 — 2x=12, x=6. x²=36. (משוואה + חזקות)
3. 3 — ספרות אחדות של 2^n מחזור 4: 2,4,8,6. 2026 mod 4 = 2 → 4. ספרות אחדות של 3^n מחזור 4: 3,9,7,1. 2026 mod 4 = 2 → 9. 4 + 9 = 13 → ספרת האחדות היא 3.
4. 20 — שלב 1 — מספר הבנים: (3/8) × 32 = 12. שלב 2 — מספר הבנות: 32 − 12 = 20.
5. 96 סמ״ר — ניצבים 3k ו-4k, יתר 5k (משולש פיתגוראי 3-4-5). 5k = 20 → k = 4. ניצבים: 12 ו-16 סמ. שטח = ½ × 12 × 16 = 96 סמ״ר.
6. 4 — 7 ≡ 2 (mod 5). 7^50 ≡ 2^50 (mod 5). 2^4 = 16 ≡ 1 (mod 5). 2^50 = 2^(4·12 + 2) = (2^4)^12 · 2^2 ≡ 1 · 4 = 4.
7. 42 — 84 = 2² · 3 · 7. 126 = 2 · 3² · 7. GCD = 2 · 3 · 7 = 42.
8. 9 — 9·9=81, ולכן √81=9.
9. 55 מ״ר — שטח מקבילית = בסיס × גובה = 11 × 5 = 55 מ״ר. (הצלע הצדדית 7 מ׳ אינה הגובה — הגובה הניצב הוא 5 מ׳.)
10. 8 שעות — קצב מילוי א׳: 1/4 בריכה לשעה. קצב ריקון ב׳: 1/8 בריכה לשעה. קצב נטו: 1/4 − 1/8 = 2/8 − 1/8 = 1/8 בריכה לשעה. זמן מילוי: 1 ÷ (1/8) = 8 שעות.
11. 2 — (−2)³ = −8 (חזקה אי-זוגית של מספר שלילי). (−3)² = 9 (חזקה זוגית של מספר שלילי, חיובי). (−1)⁵ = −1. סכום: −8 + 9 − (−1) = −8 + 9 + 1 = 2.
12. 6.2 — (5·4+7·6)/10 = 62/10 = 6.2.
13. 7/10 — סה״כ כדורים: 3 + 4 + 3 = 10. כדורים שאינם ירוקים: 3 + 4 = 7. סיכוי: 7/10.
14. 936 ₪ — סופי = 800 × (1 + 0.17) = 800 × 1.17 = 936 ₪.
15. −8 — מציבים x = −3: (−3)² + 4×(−3) − 5 = 9 + (−12) − 5 = 9 − 12 − 5 = −8.
16. 5x − 2 — איסוף איברים דומים: מקדמי x: 2 − 1 + 4 = 5. מספרים חופשיים: −5 + 3 = −2. תוצאה: 5x − 2.
17. 1 — כל מספר (שונה מאפס) בחזקת אפס שווה 1.
18. 0.936x — שלב 1 — לאחר הנחה 20%: מחיר = x · 0.8 שלב 2 — לאחר תוספת מע"מ 17%: מחיר = 0.8x · 1.17 = 0.936x לכן הביטוי הפשוט הוא 0.936x.
19. 54.55 קמ״ש — מרחק הלוך: 60 × 2.5 = 150 ק״מ. זמן חזור: 150 ÷ 50 = 3 שעות. מרחק כולל: 300 ק״מ; זמן כולל: 5.5 שעות. מהירות ממוצעת = 300 ÷ 5.5 = 600/11 ≈ 54.55 קמ״ש.
20. 75 — 0.15x = 45 → x = 45 ÷ 0.15 = 300. 25% מ-300 = 0.25 × 300 = 75.
21. x=40, גדולה 75° — שלב 1: x+(2x−15)+75=180 ← 3x+60=180 ← 3x=120 ← x=40°. שלב 2: הזוויות: 40°, 65°, 75°. הגדולה=75°.
22. 20 — היקף הגינה: 2 × (18 + 12) = 2 × 30 = 60 מ׳. מספר מוטות: 60 ÷ 3 = 20 מוטות.
23. 8 — מספר אמצעי בסדרה ממוינת.
24. -6x+10 — -2·3x=-6x, -2·(-5)=+10.
25. 300 ₪ — הנחה 30% → הלקוח שילם 70% מהמחיר המקורי. נסמן מחיר מקורי = x: 0.70x = 210 → x = 210 ÷ 0.70 = 300 ₪.
26. 252 מ״ר, 84% — שלב 1: מגרש=20×15=300 מ״ר. פארק=8×6=48 מ״ר. שלב 2: מחוץ לפארק=300−48=252 מ״ר. שלב 3: 252÷300×100=84%.
27. 40 — שלב 1 — סמן x = סה"כ תרגילים. שלב 2 — אחרי יום ראשון נותרו: x − 0.4x = 0.6x. שלב 3 — אחרי יום שני נותרו: 0.6x − 15 = 9. שלב 4 — פתור: 0.6x = 24, x = 40.
28. 200 — האלכסון d במשולש ישר-זווית שניצביו צלעות הריבוע. d² = 10² + 10² = 100 + 100 = 200. (האלכסון הוא קוטר המעגל; d = 10√2.)
29. 15 — קצב יחד: 1/6 עבודה לשעה. קצב א׳: 1/10 עבודה לשעה. קצב ב׳: 1/6 − 1/10 = 5/30 − 3/30 = 2/30 = 1/15. פועל ב׳ לבדו: 15 שעות.
30. 108 סמ"ר — נסמן רוחב x, אורך 3x. היקף: 2(x+3x)=8x=48, x=6. שטח: 6×18=108
31. 6 — קצב מילוי א׳: 1/3 בריכה לשעה. קצב ריקון ב׳: 1/6 בריכה לשעה. קצב נטו: 1/3 − 1/6 = 2/6 − 1/6 = 1/6 בריכה לשעה. זמן מילוי: 6 שעות.
32. 23.5% — שלב 1 — מקדם אחרי 15% הנחה: 0.85. שלב 2 — מקדם אחרי 10% נוספים: 0.85 × 0.90 = 0.765. שלב 3 — אחוז ההנחה הכולל: 1 − 0.765 = 0.235 = 23.5%.
33. 4/5 — סה״כ כדורים: 5 + 3 + 2 = 10. כדורים שאינם ירוקים: 5 + 3 = 8. סיכוי: 8/10 = 4/5.
34. 6 מ׳ — בשימוש ביחס דמיון: גובה המוט / צל המוט = גובה העץ / צל העץ. 2/6 = h/18 → h = 2×18/6 = 36/6 = 6 מ׳.
35. 20 — סכום מקורי: 6×12=72. סכום חדש: 8×14=112. סכום שנוספו: 112−72=40. ממוצע: 40÷2=20. (סטטיסטיקה ומשוואה)
36. 96% — שלב 1 — אחרי העלאה: 1.20 מהמחיר. שלב 2 — אחרי הוזלה ב-20%: 1.20 × 0.80 = 0.96. שלב 3 — לכן המחיר הסופי הוא 96% מהמקורי.
37. 9 מ׳ — סולם A: c = 15 מ׳ (יתר), גובה הקיר = 12 מ׳ (קטגורה אחת). מרחק מהקיר בקרקע (קטגורה שנייה) d: d² + 12² = 15² d² = 225 − 144 = 81 d = √81 = 9 מ׳.
38. 13 — סכום כל המספרים: 4×12=48. הרביעי: 48-(10+14+11)=48-35=13
39. 4.8 ס״מ — יתר: √(6²+8²) = √(36+64) = √100 = 10 ס״מ. גובה על היתר: h = (6×8)/10 = 48/10 = 4.8 ס״מ.
40. 7 — נסמן נכונות = x, שגויות = 10 − x. 4x − 2(10 − x) = 22 → 4x − 20 + 2x = 22 → 6x = 42 → x = 7.