סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 600 — שלב 1 — שטח הגן: 20 × 15 = 300 מ"ר. שלב 2 — מספר אריחים = שטח הגן / שטח אריח = 300 / 0.5 = 600.
2. 56 — מספר הבחירות של 3 מתוך 8: C(8,3) = 8·7·6/(3·2·1) = 56.
3. 90 ש"ח — שלב 1 — הגדרת משתנה: תהי x = כסף לאיתי, אז לרן יש 3x. שלב 2 — משוואה: x + 3x = 480, ולכן 4x = 480, x = 120. שלב 3 — לרן יש 3 · 120 = 360 ש"ח. שלב 4 — 25% מ-360 = 0.25 · 360 = 90 ש"ח.
4. 3,552 ₪ — היקף המלבן: 2×(8+15) = 2×23 = 46 מ׳. עלות גידור: 46×12 = 552 ₪. שטח: 8×15 = 120 מ״ר. עלות ריצוף: 120×25 = 3,000 ₪. סך הכל: 552 + 3,000 = 3,552 ₪.
5. 10 שעות — שלב 1 — הצב y = 500: 500 = 2000 − 150x שלב 2 — 150x = 1500 שלב 3 — x = 10 שעות.
6. 1:4 — היקף = 2×(בסיס + צלע צדדית) = 2×(בסיס + 10) = 56 → בסיס + 10 = 28 → בסיס = 18 ס״מ. שטח = בסיס × גובה = M. מקבילית קטנה: בסיס = 18/2 = 9, גובה = גובה/2. שטח קטנה = 9 × (גובה/2) = M/4. יחס: (M/4)/M = 1/4.
7. 160 ₪ — הנחה 25% → הלקוח שילם 75% מהמחיר המקורי. נסמן מחיר מקורי = x: 0.75x = 120 → x = 120 ÷ 0.75 = 160 ₪.
8. 40 — בן=x, אב=5x. בעוד 8: 5x+8 = 3(x+8) ⟹ 5x+8 = 3x+24 ⟹ 2x=16, x=8. אב=5×8=40. בדיקה: 48 = 3×16 ✓. (משוואה + יחסים + הצבה)
9. 3 — (11-2)/(4-1) = 9/3 = 3.
10. −68 — (−2)³ = −8. 3² = 9. (−1)⁵ = −1. (−8) × 9 − (−1) × 4 = −72 − (−4) = −72 + 4 = −68.
11. 7.5 — ריבית שנתית: 6% × 4,000 = 240 ₪. ריבית נדרשת: 5,800 − 4,000 = 1,800 ₪. שנים: 1,800 ÷ 240 = 7.5 שנים.
12. פתיחת שני הריבועים והפחתה: איברי a² ו-b² מתבטלים, נשאר 4ab — (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b². הפחתה: (a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²) = 4ab.
13. 2/5 — 4/10 = 2/5.
14. 3 שעות ו-26 דקות — ברז A ממלא ⅙ לשעה; ברז B ממלא ⅛ לשעה. יחד: ⅙ + ⅛ = 4/24 + 3/24 = 7/24 לשעה. זמן מילוי: 1 ÷ (7/24) = 24/7 ≈ 3.43 שעות. 0.43 × 60 ≈ 26 דקות. סה״כ: כ-3 שעות ו-26 דקות.
15. x=3 — 15=5x, ולכן x=3.
16. 6x-10 — 8x-4-2x-6 = 6x-10.
17. 6 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 3x − 6 = 0 → x = 2. נקודה A(2, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −6. נקודה B(0, −6). רגל₁ = 2 (לאורך ציר x), רגל₂ = 6 (לאורך ציר y). שטח = ½ × 2 × 6 = 6 יחידות².
18. 24 — a₁ = 1 − 1 + 1 = 1. a₂ = 4 − 2 + 1 = 3. a₃ = 9 − 3 + 1 = 7. a₄ = 16 − 4 + 1 = 13. סכום: 1 + 3 + 7 + 13 = 24.
19. 2 שעות — קצב A = 1/6 לשעה, קצב B = 1/3 לשעה. קצב משולב = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 לשעה. זמן = 1 ÷ (1/2) = 2 שעות.
20. 10 ברונזה; 270 נקודות — זהב: ⅓×24 = 8. כסף: ¼×24 = 6. ברונזה: 24−8−6 = 10. נקודות: 8×20 + 6×10 + 10×5 = 160 + 60 + 50 = 270.
21. 400 — 240/3=80 קמ"ש. 5·80=400.
22. 420 ₪ — שטח מקבילית = בסיס × גובה = 14 × 6 = 84 מ״ר. עלות דשא: 84 × 5 = 420 ₪.
23. 48 סמ״ר — הגובה יורד לאמצע הבסיס (12÷2 = 6 סמ). פיתגורס: h² + 6² = 10² h² = 100 − 36 = 64 → h = 8 סמ. שטח = ½ × 12 × 8 = 48 סמ״ר.
24. (⅔, 0) — חיתוך ציר x: הצב y = 0: 0 = 3x − 2 → 3x = 2 → x = 2/3. נקודת החיתוך: (⅔, 0). לבדיקה — חיתוך ציר y (x=0): y = −2, כלומר (0, −2).
25. 20 — זוויות מתחלפות פנימיות בין ישרות מקבילות שוות זו לזו: 3x + 15 = 5x − 25 → 40 = 2x → x = 20.
26. 17 — ערך מוחלט תמיד חיובי: 12+5=17.
27. 2^2 — במונה: 2^(5+3)=2^8. בחילוק: 2^(8-6)=2^2.
28. x≥6 — 2x≥12, ולכן x≥6.
29. -24 — שלושה מינוסים נותנים תוצאה שלילית: 3·4·2=24, ולכן -24.
30. 170 — 60% מ-350 = 0.6 × 350 = 210 תלמידים בחרו מדע. מאלה, 40 בחרו גם ספורט. מדע בלבד: 210 − 40 = 170 תלמידים.
31. 10 — מכנה משותף 6: 2x/6 + x/6 = 3x/6 = x/2 = 5, x=10. (שברים + משוואה)
32. 3 — 3 מופיע 3 פעמים - הכי הרבה.
33. x≥-2 — -2x≤4, חלק ב--2 והפוך: x≥-2.
34. x=20, זווית ראש 80° — שלב 1 — סכום זוויות משולש = 180°: (4x) + 2·(x + 30) = 180 4x + 2x + 60 = 180 6x = 120 שלב 2 — x = 20. שלב 3 — זווית ראש = 4·20 = 80°; זוויות בסיס = 50° כל אחת. בדיקה: 80 + 50 + 50 = 180°. ✓
35. 3 — שיפוע = (6-0)/(2-0) = 3.
36. 100 ק״מ — חלק ברכב: ⅓ × 240 = 80 ק״מ. חלק באוטובוס: ¼ × 240 = 60 ק״מ. סה״כ שנעשה: 80 + 60 = 140 ק״מ. ברכבת: 240 − 140 = 100 ק״מ.
37. 30° — זוויות הבסיס: ∠B = ∠C = (180° − 40°)/2 = 70°. במשולש BDC (שווה-שוקיים, BD = BC): ∠BDC = ∠BCD = 70°, אז ∠DBC = 180° − 140° = 40°. לכן ∠ABD = ∠ABC − ∠DBC = 70° − 40° = 30°.
38. 6 ימים — סך-העבודה: 4 × 9 = 36 ימי-פועל. עם 6 פועלים: 36 ÷ 6 = 6 ימים. (יחס הפוך: יותר פועלים → פחות ימים).
39. 73 — (−3)⁴ = 81 (חזקה זוגית → חיובי). (−2)³ = −8 (חזקה אי-זוגית → שלילי). 81 + (−8) = 73.
40. 4 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 4 = 0 → x = 2. נקודה A(2, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −4. נקודה B(0, −4). רגל₁ = 2, רגל₂ = 4. שטח = ½ × 2 × 4 = 4 יחידות².