סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 4/5 — סה״כ = 5 + 3 + 2 = 10. לא ירוקים = 5 + 3 = 8. הסתברות = 8/10 = 4/5.
2. 1/6 — מספרים אי-זוגיים: 1, 3, 5. מספרים גדולים מ-4: 5, 6. החיתוך: רק 5. P = 1/6.
3. שטח = 84 סמ״ר; היקף = 42 ס״מ — שטח מקבילית = בסיס × גובה = 12 × 7 = 84 סמ״ר. היקף: 2 × (בסיס + צלע צדדית) = 2 × (12 + 9) = 2 × 21 = 42 ס״מ.
4. -1 — (1-5)/(6-2) = -4/4 = -1.
5. 32 — S=(a+b)·h/2=(6+10)·4/2=32.
6. 4.8 ס״מ — יתר: √(6²+8²) = √(36+64) = √100 = 10 ס״מ. גובה על היתר: h = (6×8)/10 = 48/10 = 4.8 ס״מ.
7. 29.44 מ״ר — שטח חדר L: 8×6 − 2×3 = 48 − 6 = 42 מ״ר. רדיוס שטיח: 4÷2 = 2 מ׳. שטח שטיח: π×r² = 3.14×4 = 12.56 מ״ר. שטח רצפה ללא שטיח: 42 − 12.56 = 29.44 מ״ר.
8. a^6 — בסוגריים a^(4-1)=a^3, ובחזקת 2: a^(3·2)=a^6.
9. 77 — שלב 1 — סכום ציונים מקורי: 25 × 78 = 1950. שלב 2 — סכום חדש: 1950 + 53 = 2003. שלב 3 — ממוצע חדש: 2003 ÷ 26 = 77.
10. שני — x שלילי, y חיובי - רביע שני.
11. 170 — 60% מ-350 = 0.6 × 350 = 210 תלמידים בחרו מדע. מאלה, 40 בחרו גם ספורט. מדע בלבד: 210 − 40 = 170 תלמידים.
12. חיתוך (3,4); שטח = 12 יח״ר — חיתוך: 2x−2 = −x+7 → 3x = 9 → x = 3, y = 4. נקודה (3,4). חיתוך f עם ציר x: 2x−2=0 → x=1. חיתוך g עם ציר x: −x+7=0 → x=7. בסיס המשולש על ציר x: 7−1 = 6. גובה המשולש = y-קואורדינטת נקודת החיתוך = 4. שטח = ½×6×4 = 12 יח״ר.
13. 15 ₪ — שלב 1 — מחיר המבצע הוא 90 ₪ (לא צריך לחזור למחיר המקורי לחישוב הרווח). שלב 2 — אם 90 = עלות × 1.20, אזי עלות = 90 ÷ 1.20 = 75 ₪. שלב 3 — רווח: 90 − 75 = 15 ₪.
14. 60 — 120% = 1.2, ו-1.2×50 = 60
15. 95 — סכום 4 ציונים: 4 × 85 = 340. סכום נדרש ל-5 ציונים עם ממוצע 87: 5 × 87 = 435. ציון חמישי: 435 − 340 = 95.
16. 4 שעות — שלב 1 — ברז 1 ממלא 1/6 לשעה, ברז 2 ממלא 1/12 לשעה. שלב 2 — קצב משולב: 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4 לשעה. שלב 3 — זמן מילוי: 1 ÷ (1/4) = 4 שעות.
17. שטח = 154 סמ״ר; היקף = 44 ס״מ — היקף: 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 2 × 22 = 44 ס״מ. שטח: πr² = (22/7) × 7² = (22/7) × 49 = 22 × 7 = 154 סמ״ר.
18. n³ − n = n(n − 1)(n + 1) — מכפלת שלושה מספרים עוקבים — n³ − n = n(n² − 1) = n(n − 1)(n + 1). זוהי מכפלת שלושה עוקבים: בהם בהכרח אחד מתחלק ב-2 ואחד מתחלק ב-3, ולכן המכפלה מתחלקת ב-6.
19. 60 — הוזלה: 25% מ-80 = 20. מחיר חדש: 80-20 = 60. (אחוזים + חיסור)
20. 25 — סכום ראשון: 4×15=60. סכום חדש: 5×17=85. המספר: 85-60=25. (ממוצע + סכום + חיסור)
21. 10 ברונזה; 270 נקודות — זהב: ⅓×24 = 8. כסף: ¼×24 = 6. ברונזה: 24−8−6 = 10. נקודות: 8×20 + 6×10 + 10×5 = 160 + 60 + 50 = 270.
22. 18 — הרצף מורכב משתי תת-סדרות לפי מיקומים אי-זוגיים וזוגיים. מיקומים אי-זוגיים (מקום 1,3,5,7,9): 3, 4, 6, 10, ? — ההפרשים הם 1, 2, 4 (כפול 2 בכל פעם), לכן ההפרש הבא הוא 8: 10 + 8 = 18. מיקומים זוגיים (2,4,6,8): 2, 3, 5, 9 — כל אחד הוא המיקום האי-זוגי שלפניו פחות 1. האיבר ה-9 (מיקום אי-זוגי) = 18.
23. 40 — שלב 1 — סמן x = סה"כ תרגילים. שלב 2 — אחרי יום ראשון נותרו: x − 0.4x = 0.6x. שלב 3 — אחרי יום שני נותרו: 0.6x − 15 = 9. שלב 4 — פתור: 0.6x = 24, x = 40.
24. 15 — עיקרון הכלה-הדחה: |ביולוגיה ∪ כימיה| = 60 + 50 − 25 = 85. לא לומדים אף אחד: 100 − 85 = 15.
25. x=6 — 2x = 17-5 = 12, לכן x = 6
26. 1 ל׳ — לכוס אחת: ⅔ ÷ 6 = 2/18 = 1/9 ל׳. ל-9 כוסות: 9 × 1/9 = 1 ל׳.
27. 4 — פרופורציה הפוכה: 8·6=48. 48/12=4.
28. ברי — דן בעמדה $1$ → גל ממש אחריו, כלומר גל בעמדה $2$. זה תקין כי גל אינו בעמדה $3$. נותרים עמדות $3, 4, 5$ לאבי, ברי והלל. התנאי אבי ממש לפני ברי מחייב שני מיקומים עוקבים: האפשרויות הן $(3,4)$ או $(4,5)$. אם אבי$(3)$, ברי$(4)$: הלל בעמדה $5$ — אך הלל אינו יכול להיות בעמדה האחרונה, כך שאפשרות זו נפסלת. אם אבי$(4)$, ברי$(5)$: הלל בעמדה $3$ — כל התנאים מתקיימים. הסידור: דן$(1)$, גל$(2)$, הלל$(3)$, אבי$(4)$, ברי$(5)$. בעמדה החמישית: **ברי**.
29. 486 — a₆ = 2 × 3^(6−1) = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486.
30. x>-4 — כשמחלקים בשלילי - הופכים סימן: x>-4.
31. 1/4 — 1/2 · 1/2 = 1/4.
32. 135° — שלב 1 — סכום זוויות מרובע = 360°: (2x+5) + (x+10) + (x−5) + 90 = 360 4x + 100 = 360 שלב 2 — 4x = 260 → x = 65. שלב 3 — הזוויות: (2·65+5)=135°, (65+10)=75°, (65−5)=60°, 90°. סכום: 135+75+60+90=360°. ✓ הגדולה ביותר: 135°.
33. 24 — 360 = 2³ × 3² × 5¹. מספר המחלקים = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24.
34. x = 5 — שלב 1 — הפחת 7 משני האגפים: 3x = 15. שלב 2 — חלק ב-3: x = 5.
35. 3 — 3 מופיע 3 פעמים - הכי הרבה.
36. צלע = 4, שטח = 16 — נסמן צלע = a. היקף = 4a; שטח = a². 4a = a² → a² − 4a = 0 → a(a − 4) = 0. a = 0 (לא ממשי) או a = 4. צלע = 4, שטח = 16.
37. אורך 15 מ׳, עלות 600 ₪ — פיתגורס: c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → c = 15 מ׳. עלות: 15 × 40 = 600 ₪.
38. כי n² + n = n(n + 1), ומכפלת שני מספרים עוקבים תמיד זוגית — n² + n = n(n + 1). מבין שני מספרים עוקבים, אחד בהכרח זוגי, ולכן המכפלה זוגית.
39. 0.936x — שלב 1 — לאחר הנחה 20%: מחיר = x · 0.8 שלב 2 — לאחר תוספת מע"מ 17%: מחיר = 0.8x · 1.17 = 0.936x לכן הביטוי הפשוט הוא 0.936x.
40. 4 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 4 = 0 → x = 2. נקודה A(2, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −4. נקודה B(0, −4). רגל₁ = 2, רגל₂ = 4. שטח = ½ × 2 × 4 = 4 יחידות².