סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

מפתח תשובות ופתרונות

1. x = 5 — 4x − 3x + 6 = 11. x + 6 = 11. x = 5.
2. 54 סמ"ר — אם רוחב=x, אורך=x+3. 2(x + x+3) = 30 → 4x+6=30 → x=6. רוחב 6, אורך 9. שטח: 6×9=54. (משוואה וגיאומטריה)
3. 486 — a₆ = 2 × 3^(6−1) = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486.
4. 4 — |3-10|=7, |2-5|=3, ולכן 7-3=4.
5. 8k — (2k + 1)² − (2k − 1)² = ((2k + 1) + (2k − 1))((2k + 1) − (2k − 1)) = (4k)(2) = 8k. תמיד מתחלק ב-8.
6. x=7 — 6x-2=4x+12, 2x=14, x=7.
7. אי-אפשר לדעת — נבדוק את שלוש האפשרויות בשיטתיות — בכל מקרה נספור כמה משפטים אמת:\n\n**מקרה 1 — ערן הכי גבוה** (למשל $\text{ערן} > \text{דנה} > \text{יעל}$):\n- דנה: "ערן הכי גבוה" — **אמת**\n- ערן: "יעל > ערן" — שקר\n- יעל: "דנה > ערן" — שקר\n- סה"כ: בדיוק אמת אחת. **תקין.**\n\n**מקרה 2 — יעל הכי גבוהה** (למשל $\text{יעל} > \text{ערן} > \text{דנה}$):\n- דנה: "ערן הכי גבוה" — שקר\n- ערן: "יעל > ערן" — **אמת**\n- יעל: "דנה > ערן" — שקר (דנה < ערן)\n- סה"כ: בדיוק אמת אחת. **תקין.**\n\n**מקרה 3 — דנה הכי גבוהה** (למשל $\text{דנה} > \text{ערן} > \text{יעל}$):\n- דנה: "ערן הכי גבוה" — שקר\n- ערן: "יעל > ערן" — שקר\n- יעל: "דנה > ערן" — **אמת**\n- סה"כ: בדיוק אמת אחת. **תקין.**\n\nשלושת המקרים מקיימים בדיוק אמת אחת — אין מידע נוסף שיאפשר לפסול אף אחד מהם. לכן **אי-אפשר לדעת** מי קיבל הציון הגבוה ביותר.
8. נקודת אמצע: 1; מרחק: 8 — נקודת אמצע: (A+B)/2 = (−3+5)/2 = 2/2 = 1. מרחק: |B−A| = |5−(−3)| = |5+3| = 8.
9. 5 — עיקרון הכלה-הדחה: |אנגלית ∪ צרפתית| = 22 + 17 − 9 = 30. לא לומדים אף שפה: 35 − 30 = 5.
10. x=3 — מקביל לציר y - x קבוע. עובר ב-x=3.
11. 26 — נמכרו: 35% × 280 = 0.35 × 280 = 98 קופסאות. נותרו: 280 − 98 = 182 קופסאות. לכל מדף: 182 ÷ 7 = 26 קופסאות.
12. 2,340 ₪ — וֶתֶר: c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → c = 15 מ׳. היקף: 9 + 12 + 15 = 36 מ׳. עלות לפני מע״מ: 36 × 50 = 1,800 ₪. כולל 30% מע״מ: 1,800 × 1.3 = 2,340 ₪.
13. 36 מ״ר — שטח טרפז: ½ × (12 + 8) × 9 = ½ × 20 × 9 = 90 מ״ר. שטח בנייה: 0.40 × 90 = 36 מ״ר.
14. 52% — שלב 1 — בנות בהתחלה: 60% מ-30 = 18 בנות. שלב 2 — לאחר שעברו 5: נותרו 13 בנות. שלב 3 — סה"כ תלמידים: 30 − 5 = 25. שלב 4 — אחוז בנות: 13/25 = 52%.
15. 4 יחידות² — חיתוך f ו-g: −x + 3 = x + 1 → 2x = 2 → x = 1, y = 2. נקודה C(1, 2). חיתוך f עם ציר x (y = 0): −x + 3 = 0 → x = 3. נקודה A(3, 0). חיתוך g עם ציר x (y = 0): x + 1 = 0 → x = −1. נקודה B(−1, 0). בסיס AB = 3 − (−1) = 4 יחידות. גובה = y-קואורדינטת C = 2. שטח = ½ × 4 × 2 = 4 יחידות².
16. 0 — -8+3=-5, ואז -5-(-5)=0.
17. 3 — עיקרון הכלה-הדחה: |כדורגל ∪ כדורסל| = 18 + 15 − 6 = 27. לא שיחקו: 30 − 27 = 3.
18. 25 — סכום ראשון: 4×15=60. סכום חדש: 5×17=85. המספר: 85-60=25. (ממוצע + סכום + חיסור)
19. 17 — (−2)⁴ = 16 (חזקה זוגית → תוצאה חיובית). (−3)² = 9. 2³ = 8. 16 + 9 − 8 = 17.
20. (0,5) — ב-x=0: y=5.
21. 17 — ערך מוחלט תמיד חיובי: 12+5=17.
22. 3/4 — לאחר שליפת אדום נשארו 4 כדורים: 1 אדום ו-3 כחולים. P(כחול | אדום ראשון) = 3/4.
23. x=3 — 15=5x, ולכן x=3.
24. 1/4 — 1/2 · 1/2 = 1/4.
25. x=6 — 2x=12, ולכן x=6.
26. 76 — סכום: 75 + 80 + 90 + 65 + 70 = 380. ממוצע: 380 ÷ 5 = 76.
27. 4 — 7 ≡ 2 (mod 5). 7^50 ≡ 2^50 (mod 5). 2^4 = 16 ≡ 1 (mod 5). 2^50 = 2^(4·12 + 2) = (2^4)^12 · 2^2 ≡ 1 · 4 = 4.
28. 81 סמ״ר, גדול ב-35% — שלב 1: צלע = 36÷4 = 9 ס״מ. שטח = 9² = 81 סמ״ר. שלב 2: אחוז גידול = (81−60)÷60×100 = 21÷60×100 = 35%.
29. 100 סמ״ר — אם הצלעות הן a ו-b אז 2(a + b) = 40, כלומר a + b = 20. השטח a · b מקסימלי כאשר a = b = 10 (ריבוע). שטח מקסימלי: 10 · 10 = 100.
30. חיתוך (3,4); שטח = 12 יח״ר — חיתוך: 2x−2 = −x+7 → 3x = 9 → x = 3, y = 4. נקודה (3,4). חיתוך f עם ציר x: 2x−2=0 → x=1. חיתוך g עם ציר x: −x+7=0 → x=7. בסיס המשולש על ציר x: 7−1 = 6. גובה המשולש = y-קואורדינטת נקודת החיתוך = 4. שטח = ½×6×4 = 12 יח״ר.
31. n³ − n = n(n − 1)(n + 1) — מכפלת שלושה מספרים עוקבים — n³ − n = n(n² − 1) = n(n − 1)(n + 1). זוהי מכפלת שלושה עוקבים: בהם בהכרח אחד מתחלק ב-2 ואחד מתחלק ב-3, ולכן המכפלה מתחלקת ב-6.
32. 42 מ׳ — שלב 1 — אורך אלכסון: √(90² + 60²) = √(8100 + 3600) = √11700 ≈ 108.17 מ׳. שלב 2 — ריצה על הצלעות: 90 + 60 = 150 מ׳. שלב 3 — חיסכון ≈ 150 − 108 = 42 מ׳. (√11700 = √(900·13) = 30√13 ≈ 108.17)
33. 40 — שלב 1 — סמן x = סה"כ תרגילים. שלב 2 — אחרי יום ראשון נותרו: x − 0.4x = 0.6x. שלב 3 — אחרי יום שני נותרו: 0.6x − 15 = 9. שלב 4 — פתור: 0.6x = 24, x = 40.
34. 96% — שלב 1 — אחרי העלאה: 1.20 מהמחיר. שלב 2 — אחרי הוזלה ב-20%: 1.20 × 0.80 = 0.96. שלב 3 — לכן המחיר הסופי הוא 96% מהמקורי.
35. 10 מ׳ — שלב 1 — שטח משולש = (1/2) × ניצב₁ × ניצב₂: 24 = (1/2) × 8 × ניצב₂ 24 = 4 × ניצב₂ ניצב₂ = 6 מ׳. שלב 2 — משפט פיתגורס: יתר² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100 יתר = √100 = 10 מ׳.
36. 80 קמ״ש — שלב 1 — המר זמן לשעות: 2 שעות 15 דקות = 2.25 שעות. שלב 2 — מהירות = מרחק ÷ זמן = 180 ÷ 2.25 = 80 קמ״ש.
37. 7 — הצב x = 4 בפונקציה: f(4) = 3 × 4 − 5 = 12 − 5 = 7 ₪.
38. 24 ס״מ — שלב 1: פיתגורס: יתר² = 6²+8² = 36+64 = 100 ← יתר=10 ס״מ. שלב 2: היקף = 6+8+10 = 24 ס״מ.
39. −1 — הצבה: 11 = 2a + 3 → a = 4. f(x) = 4x + 3. f(−1) = 4·(−1) + 3 = −1.
40. 8 — ממוצע 5 תלמידים: (12+15+18+11+14) ÷ 5 = 70 ÷ 5 = 14. סכום נדרש ל-6 תלמידים עם ממוצע 13: 13 × 6 = 78. ציון התלמיד השישי: 78 − 70 = 8.