סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 7/10 — סה״כ כדורים: 3 + 4 + 3 = 10. כדורים שאינם ירוקים: 3 + 4 = 7. סיכוי: 7/10.
2. 28 ש"ח — מחיר עפרון אחד: 12÷3=4. שבעה: 7×4=28
3. 4 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 4 = 0 → x = 2. נקודה A(2, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −4. נקודה B(0, −4). רגל₁ = 2, רגל₂ = 4. שטח = ½ × 2 × 4 = 4 יחידות².
4. 160 ₪ — הנחה 25% → הלקוח שילם 75% מהמחיר המקורי. נסמן מחיר מקורי = x: 0.75x = 120 → x = 120 ÷ 0.75 = 160 ₪.
5. 50 מ׳ — יחס גובה:מרחק = 3:4, מרחק = 40 מ׳. גובה = (3/4) × 40 = 30 מ׳. קו לפסגה (וֶתֶר): √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 מ׳.
6. 108 — 2³ = 8, 3² = 9. 2³ × 3² = 8 × 9 = 72. חלוקה בשבר = כפל בהפוך: 72 ÷ (2/3) = 72 × (3/2) = 216/2 = 108.
7. 9 — 9·9=81, ולכן √81=9.
8. 8 — מספר אמצעי בסדרה ממוינת.
9. 6,200 ₪ — ריבית שנתית: 6% × 5,000 = 300 ₪. ריבית ל-4 שנים: 4 × 300 = 1,200 ₪. סכום כולל: 5,000 + 1,200 = 6,200 ₪.
10. 160 סמ״ר — נסמן רוחב = x, אורך = x + 6. היקף: 2(x + x + 6) = 52 → 4x + 12 = 52 → 4x = 40 → x = 10. רוחב = 10 סמ, אורך = 16 סמ. שטח = 10 × 16 = 160 סמ״ר.
11. x=5, y=10; כן, (3,4) על הגרף — חיתוך עם ציר x: y=0 → −2x+10=0 → x=5, נקודה (5,0). חיתוך עם ציר y: x=0 → y=10, נקודה (0,10). בדיקת (3,4): y=−2×3+10=−6+10=4. אכן 4=4, לכן הנקודה על הגרף.
12. 6 ימים — סך-העבודה: 4 × 9 = 36 ימי-פועל. עם 6 פועלים: 36 ÷ 6 = 6 ימים. (יחס הפוך: יותר פועלים → פחות ימים).
13. 10 — מיץ מקורי: 0.25 × 40 = 10 ליטר. נסמן כמות מוספת x. (10 + x) ÷ (40 + x) = 0.4 → 10 + x = 16 + 0.4x → 0.6x = 6 → x = 10.
14. 1/6 — מספרים אי-זוגיים: 1, 3, 5. מספרים גדולים מ-4: 5, 6. החיתוך: רק 5. P = 1/6.
15. 1/6 — שלב 1 — סה"כ תוצאות: 6 × 6 = 36. שלב 2 — צמדים עם סכום 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) — 6 צמדים. שלב 3 — הסתברות: 6/36 = 1/6.
16. שטח = 154 סמ״ר; היקף = 44 ס״מ — היקף: 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 2 × 22 = 44 ס״מ. שטח: πr² = (22/7) × 7² = (22/7) × 49 = 22 × 7 = 154 סמ״ר.
17. 1620 ש"ח — אחרי עלייה: 1500×1.2=1800. אחרי ירידה: 1800×0.9=1620
18. 16 שנים — שלב 1 — נסמן את מספר השנים ב-x. בעוד x שנים אבי בן 12+x ואביו בן 40+x. שלב 2 — משוואה: 40 + x = 2(12 + x). שלב 3 — פתיחה: 40 + x = 24 + 2x, ולכן x = 16.
19. כן, יישארו 0 ₪ — היקף: 2 × (30 + 20) = 100 מ׳. מספר גדרות: 100 ÷ 5 = 20 גדרות. עלות: 20 × 90 = 1,800 ₪. 1,800 = 1,800 → התקציב מספיק בדיוק, יישארו 0 ₪.
20. 262 מ״ר — שטח העיגול: π×10² = 3.14×100 = 314 מ״ר. המלבן החיצוני: קוטר העיגול = 20 מ׳. עם שביל של 2 מ׳ מכל צד: רוחב מלבן = 20+4 = 24 מ׳, אורך = 24 מ׳ (מלבן ריבועי). שטח מלבן: 24×24 = 576 מ״ר. שטח שביל: 576−314 = 262 מ״ר.
21. 20 — מחיר עפרון: 12/3=4. 5·4=20.
22. 70° — סכום זוויות = 180°. שתי זוויות הבסיס שוות: (180 − 40) ÷ 2 = 70°. (גיאומטריה וחלוקה)
23. 51.84x — שלב 1 — היקף הגן הריבועי: 4x מטרים. שלב 2 — עלות הגידור: 12 · 4x = 48x ש"ח. שלב 3 — תוספת 8%: 48x · 1.08 = 51.84x ש"ח.
24. 2³ × 2⁴ = 128; (2²)³ = 64; הראשון גדול ב-64 — 2³ × 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷ = 128. (2²)³ = 2^(2×3) = 2⁶ = 64. 128 − 64 = 64. הביטוי הראשון גדול ב-64.
25. 15 מ׳ — שלב 1 — זהה את המשולש ישר-הזווית: ניצבים 9 ו-12 מ׳, היתר הוא הכבל. שלב 2 — פיתגורס: כבל² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. שלב 3 — כבל = √225 = 15 מ׳.
26. 85 — סה״כ 20 תלמידים. החציון הוא ממוצע האיברים ה-10 וה-11. תלמידים 1-4: ציון 70. תלמידים 5-10: ציון 80. תלמידים 11-15: ציון 90. האיבר ה-10 = 80, האיבר ה-11 = 90. חציון = (80+90)÷2 = 85.
27. 8 שעות — קצב מילוי א׳: 1/4 בריכה לשעה. קצב ריקון ב׳: 1/8 בריכה לשעה. קצב נטו: 1/4 − 1/8 = 2/8 − 1/8 = 1/8 בריכה לשעה. זמן מילוי: 1 ÷ (1/8) = 8 שעות.
28. 70° כל אחת — 180-40=140 לשתי זוויות הבסיס. כל אחת: 140/2=70. (סכום זוויות + משולש שווה-שוקיים + חלוקה)
29. 10 שעות — שלב 1 — הצב y = 500: 500 = 2000 − 150x שלב 2 — 150x = 1500 שלב 3 — x = 10 שעות.
30. −68 — (−2)³ = −8. 3² = 9. (−1)⁵ = −1. (−8) × 9 − (−1) × 4 = −72 − (−4) = −72 + 4 = −68.
31. −21 — סדר פעולות: −12 + (−9) = −21. (מספרים שליליים וסדר פעולות)
32. 120 — בוחרים בן אחד מ-12: 12 דרכים. בוחרים בת אחת מ-10: 10 דרכים. לפי כלל המכפלה: 12 × 10 = 120 ועדות.
33. 49 סמ"ר — שטח ריבוע = צלע² = 7² = 49
34. 100 ש"ח — מחיר התחלתי x. אחרי עלייה: 1.2x. אחרי ירידה: 1.2x × 0.8 = 0.96x = 96, x=100. (אחוזים רצופים + משוואה)
35. −7 — שלב 1 — (−6) + (−4) = −10. שלב 2 — −(−3) = +3, לכן −10 + 3 = −7.
36. 4 — 5y = 50 − 3x → y = 10 − 3x/5. דרוש x מתחלק ב-5 וגם y ≥ 0. x ∈ {0, 5, 10, 15} נותן y ∈ {10, 7, 4, 1}. ארבעה פתרונות.
37. 8k — (2k + 1)² − (2k − 1)² = ((2k + 1) + (2k − 1))((2k + 1) − (2k − 1)) = (4k)(2) = 8k. תמיד מתחלק ב-8.
38. 30° — סכום זוויות משולש = 180°. נסמן הזוויות: x, 2x, 3x. x + 2x + 3x = 180° → 6x = 180° → x = 30°. הזווית הקטנה = 30°.
39. 39% — שטח טרפז: S = ½ × (a + b) × h = ½ × (8 + 14) × 6 = ½ × 22 × 6 = 66 מ״ר. שטח גינה ירוקה: 66 − 40 = 26 מ״ר. אחוז ירוק: 26 ÷ 66 × 100 ≈ 39.4% ≈ 39%.
40. 6 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 3x − 6 = 0 → x = 2. נקודה A(2, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −6. נקודה B(0, −6). רגל₁ = 2 (לאורך ציר x), רגל₂ = 6 (לאורך ציר y). שטח = ½ × 2 × 6 = 6 יחידות².