סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 9 — 9·9=81, ולכן √81=9.
2. −7 — שלב 1 — (−6) + (−4) = −10. שלב 2 — −(−3) = +3, לכן −10 + 3 = −7.
3. 4 — 7 ≡ 2 (mod 5). 7^50 ≡ 2^50 (mod 5). 2^4 = 16 ≡ 1 (mod 5). 2^50 = 2^(4·12 + 2) = (2^4)^12 · 2^2 ≡ 1 · 4 = 4.
4. 1/4 — 1/2 · 1/2 = 1/4.
5. 38 ס״מ — שלב 1 — חישוב הרוחב: 84 ÷ 12 = 7 ס״מ. שלב 2 — היקף: 2 × (12 + 7) = 2 × 19 = 38 ס״מ.
6. 39.2 מ״ר — שטח טרפז: ½ × (18 + 10) × 8 = ½ × 28 × 8 = 112 מ״ר. שטח גינה: 0.35 × 112 = 39.2 מ״ר.
7. x=3 — מקביל לציר y - x קבוע. עובר ב-x=3.
8. 24 — a₁ = 1 − 1 + 1 = 1. a₂ = 4 − 2 + 1 = 3. a₃ = 9 − 3 + 1 = 7. a₄ = 16 − 4 + 1 = 13. סכום: 1 + 3 + 7 + 13 = 24.
9. 12 שנים — שלב 1: בן=x, אבא=4x. שלב 2: בעוד 6: 4x+6=3(x+6) ← 4x+6=3x+18 ← x=12. בדיקה: בן=12, אבא=48. בעוד 6: בן=18, אבא=54. 54=3×18 ✓.
10. x=6 — 2x=12, ולכן x=6.
11. זווית C = 110°, ואינו ישר-זווית — שלב א׳ — זווית C: סכום זוויות משולש = 180°. C = 180° − 40° − 30° = 110°. שלב ב׳ — האם המשולש עם 5, 12, 13 ישר-זווית? בדיקה: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ✓ כן — אבל שים לב: זה משולש שונה מ-ABC! המשולש ABC (עם 40°, 30°, 110°) אינו ישר-זווית.
12. שטח = 154 סמ״ר; היקף = 44 ס״מ — היקף: 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 2 × 22 = 44 ס״מ. שטח: πr² = (22/7) × 7² = (22/7) × 49 = 22 × 7 = 154 סמ״ר.
13. 1 — x + y = xy ⟺ xy − x − y = 0 ⟺ (x − 1)(y − 1) = 1. במספרים שלמים חיוביים: x − 1 = 1, y − 1 = 1, ולכן x = y = 2. רק זוג אחד.
14. 6.2 — (5·4+7·6)/10 = 62/10 = 6.2.
15. x=6 — 2x = 17-5 = 12, לכן x = 6
16. 13 — שיפוע: m = (9 − 1) ÷ (3 − (−1)) = 8 ÷ 4 = 2. חיתוך ציר y (b): משתמשים ב-(−1, 1): 1 = 2(−1) + b → b = 3. משוואה: y = 2x + 3. ב-x = 5: y = 2(5) + 3 = 13.
17. 76 — סכום: 75 + 80 + 90 + 65 + 70 = 380. ממוצע: 380 ÷ 5 = 76.
18. 30 — שלב 1 — נסמן את המספרים: x, x+2, x+4. שלב 2 — משוואה: 3x + 6 = 84, ולכן 3x = 78, ו-x = 26. שלב 3 — המספרים: 26, 28, 30. הגדול הוא 30.
19. 20 — היקף הגינה: 2 × (18 + 12) = 2 × 30 = 60 מ׳. מספר מוטות: 60 ÷ 3 = 20 מוטות.
20. 25.7 דקות; 34.3 ק״מ — מהירות יחסית: 80+60 = 140 קמ״ש. זמן פגישה: 60÷140 = 3/7 שעה = 3/7×60 ≈ 25.7 דקות. מרחק שנסעה הרכבת: 80×(3/7) = 240/7 ≈ 34.3 ק״מ מתל אביב.
21. ממוצע עלה ב-10; חציון עלה ב-10; טווח לא השתנה — ציונים מקוריים: 60,70,80,90,100. ממוצע: 80. חציון: 80. טווח: 100−60=40. לאחר הוספת 10: 70,80,90,100,110. ממוצע: 90 (עלה ב-10). חציון: 90 (עלה ב-10). טווח: 110−70=40 (לא השתנה). הוספת קבוע לכל ערך מעלה את הממוצע והחציון באותה כמות אך אינה משנה את הטווח.
22. צלע = 4, שטח = 16 — נסמן צלע = a. היקף = 4a; שטח = a². 4a = a² → a² − 4a = 0 → a(a − 4) = 0. a = 0 (לא ממשי) או a = 4. צלע = 4, שטח = 16.
23. 10 — 36+64=100, √100=10.
24. y = 2x + 3; y(10) = 23 — שיפוע: Δy/Δx = (7−3)/(2−0) = 4/2 = 2. כן-חיתוך: x=0, y=3, לכן b=3. משוואה: y = 2x + 3. כאשר x=10: y = 2×10 + 3 = 20 + 3 = 23.
25. 60° — 180-50-70=60.
26. 102 — סדרה חשבונית עם a₁ = 7 ו-d = 5. הנוסחה: aₙ = 7 + (n−1) × 5 = 5n + 2. a₂₀ = 5 × 20 + 2 = 102.
27. 11 — סדר פעולות: 7×2=14, ואז -3+14=11. (מספרים שליליים + סדר פעולות)
28. 50.24 סמ"ר — שטח = π×r² = 3.14×16 = 50.24
29. $\dfrac{3}{5}$ — כופלים מונה במונה ומכנה במכנה: $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{2 \times 9}{3 \times 10} = \dfrac{18}{30}$. מצמצמים ב-6: $\dfrac{18 \div 6}{30 \div 6} = \dfrac{3}{5}$.
30. 16 — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 8 = 0 → x = 4. חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −8. המשולש הוא ישר-זווית עם רגליים 4 ו-8. שטח = ½ × 4 × 8 = 16.
31. 11 — שיפוע: m = (7 − 3) ÷ (4 − 2) = 4 ÷ 2 = 2. משוואת הישר: y = 2x + b. נציב (2, 3): 3 = 2×2 + b → b = 3 − 4 = −1. אז y = 2x − 1. f(6) = 2×6 − 1 = 12 − 1 = 11.
32. 185.6 מ״ר — שטח העיגול: π×10² = 3.14×100 = 314 מ״ר. המלבן החיצוני: קוטר העיגול = 20 מ׳. עם שביל של 2 מ׳ מכל צד: רוחב מלבן = 20+4 = 24 מ׳, אורך = 24 מ׳ (מלבן ריבועי). שטח מלבן: 24×24 = 576 מ״ר. שטח שביל: 576−314 = 262 מ״ר. בדיקה: אם השביל מוקף ממש סביב העיגול כמסגרת מלבנית: שטח מלבן חיצוני = 24²=576, שטח עיגול=314, שביל=262. אך האפשרות 185.6 מרמזת על חישוב אחר. נחשב: שביל 2 מ׳ מכל כיוון — אם זה מלבן שאורכו וגובהו = 2×(r+2) בסיסי: 2×12=24, 24²=576, 576−314=262 מ״ר.
33. 7 — כפל קודם: (-4)×(-3)=12. ואז 12+(-5)=7
34. 6 — 5x − 3 = 3x + 9 5x − 3x = 9 + 3 2x = 12 x = 6. בדיקה: 5×6 − 3 = 27, 3×6 + 9 = 27 ✓
35. 4 — 2³ = 8, 3² = 9, 1² = 1. 8 + 9 − 1 = 16. √16 = 4.
36. 24 ס״מ — מצא את יתר המשולש בעזרת משפט פיתגורס: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = 10 ס״מ. היקף = 6 + 8 + 10 = 24 ס״מ.
37. −67 — (−3)² = 9. (−2)³ = −8. (−1)⁴ = 1. 9 × (−8) + 1 × 5 = −72 + 5 = −67.
38. 3 — (11-2)/(4-1) = 9/3 = 3.
39. y=3x-4 — y=mx+b עם m=3 ו-b=-4.
40. 95.04 סמ״ר — AMND: AM = 6 סמ (מחצית AB), AD = 12 סמ (צלע הריבוע). שטח מקורי: 6 × 12 = 72 סמ״ר. לאחר הגדלה: אורך × 1.2 = 12 × 1.2 = 14.4 סמ, רוחב × 1.1 = 6 × 1.1 = 6.6 סמ. שטח חדש: 14.4 × 6.6 = 95.04 סמ״ר.