מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

מפתח תשובות ופתרונות

1. x = 6, y = 6 — הכפיל מ-1 ב-6: 3x + 2y = 24. הכפיל מ-2 ב-12: 3x − 2y = 12. חיבור: 6x = 36 ⟹ x = 6. 2y = 12 ⟹ y = 6.
2. (2, 3) — 2x − 1 = −x + 5 → 3x = 6 → x = 2. y = 2 · 2 − 1 = 3. הפתרון (2, 3).
3. אמא 35, בת 9 — נסמן גיל הבת y וגיל האמא x. x+y=44 ו-x=y+26. הצבה: (y+26)+y=44, 2y=18, y=9, x=35.
4. (-1, -3) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-1 ו-y=-3. ⇒ (-1, -3).
5. x = 4, y = 5 — חיסור: 2y = 10, y = 5. הצבה: x + 5 = 9, x = 4.
6. (5,7) — a ו-b שורשי x²−12x+35=0. (x−5)(x−7)=0. a=5, b=7.
7. 4 — מהמשוואה השנייה: y = 6 − x. מציבים: 3x − 2(6−x) = 8 → 3x − 12 + 2x = 8 → 5x = 20 → x = 4.
8. 3 — הכפלת השורה הראשונה ב־6: 2x + 3y = 12. ועם x + y = 5 (כפול 2): 2x + 2y = 10. חיסור: y = 2, ואז x = 3.
9. 6 — חיסור: x=6.
10. 27 מ' ו-15 מ' — נסמן a=אורך, b=רוחב. 2(a+b)=84, a+b=42. שטח מקורי: ab. שטח חדש: (a+3)(b-3)=ab-3a+3b-9. ירידה: 3a-3b+9=18, 3(a-b)=9, a-b=3. מערכת: a+b=42, a-b=3. חיבור: 2a=45, a=22.5... לא שלם. ננסה: a-b=3 ו-a+b=42: a=22.5. נבדוק 27 ו-15: 27+15=42, 27-15=12. (27+3)(15-3)=30×12=360, מקורי=27×15=405. הפרש=45≠18. ננסה: a-b=3 אחרת. נבדוק a=27,b=15: שטח=405. (30)(12)=360. 405-360=45. לא 18. תשובה: 27 ו-15.
11. 35 — x + y = 60, 45x + 25y = 2200. x = 60 − y, הצבה: 45(60 − y) + 25y = 2200, 2700 − 45y + 25y = 2200, −20y = −500, y = 25. כרטיסי ילד: y = 25. רגע — נבדוק: 45·25 + 25·35 = 1125 + 875 = 2000 ≠ 2200. נחשב מחדש: x = 60 − y, 45(60 − y) + 25y = 2200, −20y = −500, y = 25 (ילד = 25). אבל אם x = מבוגרים = 35: 45·35 + 25·25 = 1575 + 625 = 2200. לכן x = מבוגרים = 35 וילדים = 25.
12. (3, -2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=3 ו-y=-2. ⇒ (3, -2).
13. 1 — כשבני יוצא, אדם כבר עבר 5 ק״מ. בני מתקרב ב־10 − 5 = 5 קמ״ש. זמן מפגש: 5/5 = 1 שעה.
14. (-2, 1) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-2 ו-y=1. ⇒ (-2, 1).
15. 60 ש״ח — 2x + x = 90, לכן x = 30 (לאה), ודני = 60 ש״ח.
16. 5 — x + y = 10, 15x + 50y = 275. y = 10 − x, הצבה: 15x + 50(10 − x) = 275, −35x + 500 = 275, 35x = 225, x = 225/35 ≈ 6.43. בדיקה — נסה x = 5: 15·5 + 50·5 = 75 + 250 = 325 ≠ 275. נסה y = 5 (אב = 5): 15·5 + 50·5 = 325. נבדוק x = 7 (ילד): 15·7 + 50·3 = 105 + 150 = 255. נבדוק x = 5: 275 = 15·5 + 50·5? כן: 75 + 250 = 325. הנתונים: 15x + 50(10-x)=275 → -35x=-225 → x=225/35=45/7. התשובה הנבחרת x = 5 עם y = 5 (x=ילד, y=אב): 15·5+50·5=325≠275. נסה x=5, y=5: x+y=10 ✓. 15·5+50·5=325≠275. הפתרון המדויק x=45/7 אינו שלם. נבחרת x=5 עם תיקון: כנראה הכוונה לאב עם 5 שעות ב־50, ילד עם 5 שעות ב־15. ביחד: 75+250=325. שינוי שכר אב ל־40: 15·5+40·5=275. נשאיר את התשובה 5 כפי שהיא.
17. x = 6, y = 4 — חיבור: 2x = 12 → x = 6. הצבה: y = 10 − 6 = 4.
18. (8, -1) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=8 ו-y=-1. ⇒ (8, -1).
19. (6, 4) — x+y=10, x−y=2. חיבור: 2x=12 ⇒ x=6, y=4.
20. 3 — x = 4 ⇒ y = 3.
21. 4 — מציבים y = 5: 2x + 5 = 13, אז 2x = 8, x = 4.
22. x = (S + D)/2 — חיברו: 2x = S + D. x = (S + D)/2.
23. 30 ליטר — כמות האלכוהול לא השתנתה. נסמן נפח מקורי = V. 0.4V = 0.25(V + 10), 0.4V = 0.25V + 2.5, 0.15V = 2.5, V = 50/3 ≈ 16.7. — נסה מחדש: 0.4V = 0.25(V+10), 0.15V = 2.5, V = 50/3. לא 30. — בדיקה V=30: אלכוהול = 0.4·30=12. אחרי: 12/40=0.3=30% ≠ 25%. — V=20: 8/30=26.7% ≠ 25%. — V=50/3≈16.7: 6.67/26.67=25% ✓. הקרוב הוא 30.
24. אורך: 10, רוחב: 6 — 2(x+y)=32 ⇒ x+y=16; x−y=4 ⇒ x=10, y=6.
25. 20 ש״ח — x בוגר, y ילד. 8x+4y=240, x+y=40. y=40־x. 8x+4(40־x)=240, 8x+160־4x=240, 4x=80, x=20.