טריגונומטריה — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קל)

פתרונות

1. $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — $300^\circ$ נמצא ברביע הרביעי ($270^\circ$–$360^\circ$). זווית הייחוס היא $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$. ברביע הרביעי $\sin$ שלילי, לכן: $\sin(300^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
2. $-1$ — מצמצמים $630^\circ$ אל $270^\circ$, ולכן $\sin(630^\circ)=-1$.
3. $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ — $\sin 75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45\cos30+\cos45\sin30=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.
4. $\frac{\pi}{6}$ — $\arcsin$ מחזיר ערך בתחום $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$, ו-$\sin\frac\pi6=\frac12$.
5. $0$ — מצמצמים $180^\circ$ אל $180^\circ$, ולכן $\sin(180^\circ)=0$.
6. $\sin 2x$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה, $2\sin x\cos x=\sin 2x$.
7. $\frac{1}{2}$ — מצמצמים $30^\circ$ אל $30^\circ$, ולכן $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$.
8. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(240^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
9. $\frac{\pi}{6}$ — $30^\circ=30\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{6}$ רדיאנים.
10. $\frac{\pi}{4}$ — $45^\circ=45\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{4}$ רדיאנים.
11. $\frac{1}{2}$ — הזווית $150^\circ$ נמצאת ברביע השני. זווית הייחוס היא $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. ברביע השני הסינוס חיובי, ולכן $\sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
12. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
13. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — מצמצמים $600^\circ$ אל $240^\circ$, ולכן $\sin(600^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
14. $\cos 2x$ — $\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x$.
15. $1$ — מצמצמים $450^\circ$ אל $90^\circ$, ולכן $\sin(450^\circ)=1$.
16. $\sin^2 x$ — מנוסחת חצי-זווית: $\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$.
17. $0$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(0^\circ)=0$.
18. $\pi$ — מחזור $\sin(bx)$ הוא $\frac{2\pi}{b}=\frac{2\pi}{2}=\pi$.
19. $0$ — מצמצמים $0^\circ$ אל $0^\circ$, ולכן $\sin(0^\circ)=0$.
20. $x=\pi+2\pi k$ — $\cos x=-1$ עבור $x=\pi+2\pi k$.