חזקות — כיתה י"ב · 5 יח"ל (בינוני)

פתרונות

1. $8$ — $\left(\frac12\right)^{-3}=2^3=8$.
2. $x>8$ — $x>2^3=8$ (וגם $x>0$), ולכן $x>8$.
3. $0$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_2 1=0$ כי הבסיס בחזקת 0 נותן את המספר.
4. $6$ — $\log_5 25^3=3\log_5 25=3\cdot2=6$.
5. $4$ — $32^{2/5}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4$.
6. $2$ — $3^{2}=9$, ולכן $\log_{3} 9=2$.
7. $e^x$ — הנגזרת של $e^x$ היא $e^x$.
8. $0<x<\frac{1}{2}$ — בסיס בין $0$ ל-$1$ הופך כיוון: $x<\left(\frac12\right)^1=\frac12$, ועם $x>0$ מקבלים $0<x<\frac12$.
9. $x=100$ — $x=10^2=100$.
10. $2$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_7 49=2$ כי הבסיס בחזקת 2 נותן את המספר.
11. $4$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_3 81=4$ כי הבסיס בחזקת 4 נותן את המספר.
12. $0$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_5 1=0$ כי הבסיס בחזקת 0 נותן את המספר.
13. $5\log_a x$ — $\log_a x^2+\log_a x^3=\log_a(x^2 \cdot x^3)=\log_a x^5=5\log_a x$. המסיח $6\log_a x$ מדמה טעות של כפל המעריכים ($2\times3=6$) במקום חיבורם ($2+3=5$). המסיח $\log_a x^2 \cdot \log_a x^3$ מדמה שימוש שגוי בחוק המכפלה — כפל הלוגריתמים במקום חיבורם.
14. $27$ — $81^{3/4}=(\sqrt[4]{81})^3=3^3=27$.
15. $x=9$ — $x=3^2=9$.
16. $x=-2$ — $3^x=3^{-2}\Rightarrow x=-2$.
17. $\frac{x^6}{y^3}$ — $\left(\frac{x^2}{y}\right)^3=\frac{x^6}{y^3}$.
18. $3$ — $5^{3}=125$, ולכן $\log_{5} 125=3$.
19. $5$ — $\log(1000\cdot100)=\log 10^5=5$.
20. $x=9$ — $x-1=2^3=8\Rightarrow x=9$.