פונקציות — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $5i$ — כדי לחלק מספרים מרוכבים מכפילים מונה ומכנה בצמוד של המכנה $\overline{1 - i} = 1 + i$. המכנה הופך לממשי: $1^2+-1^2=2$. לאחר הפישוט מקבלים $5i$.
2. $3 - i$ — כדי לחלק מספרים מרוכבים מכפילים מונה ומכנה בצמוד של המכנה $\overline{1 + i} = 1 - i$. המכנה הופך לממשי: $1^2+1^2=2$. לאחר הפישוט מקבלים $3 - i$.
3. $2 + i$ — כדי לחלק מספרים מרוכבים מכפילים מונה ומכנה בצמוד של המכנה $\overline{3} = 3$. המכנה הופך לממשי: $3^2+0^2=9$. לאחר הפישוט מקבלים $2 + i$.
4. $5 - 5i$ — כדי לחלק מספרים מרוכבים מכפילים מונה ומכנה בצמוד של המכנה $\overline{1 + i} = 1 - i$. המכנה הופך לממשי: $1^2+1^2=2$. לאחר הפישוט מקבלים $5 - 5i$.
5. $2$ — כדי לחלק מספרים מרוכבים מכפילים מונה ומכנה בצמוד של המכנה $\overline{1 + i} = 1 - i$. המכנה הופך לממשי: $1^2+1^2=2$. לאחר הפישוט מקבלים $2$.
6. $3$ — כדי לחלק מספרים מרוכבים מכפילים מונה ומכנה בצמוד של המכנה $\overline{1 + i} = 1 - i$. המכנה הופך לממשי: $1^2+1^2=2$. לאחר הפישוט מקבלים $3$.
7. $x = 1 \pm 2i$ — לפי נוסחת השורשים, המבחין שלילי ולכן הפתרונות מרוכבים. החלק הממשי של הפתרון הוא $1$ והחלק המדומה $\pm 2i$. לכן $x = 1 \pm 2i$.
8. $x = 2 \pm 3i$ — לפי נוסחת השורשים, המבחין שלילי ולכן הפתרונות מרוכבים. החלק הממשי של הפתרון הוא $2$ והחלק המדומה $\pm 3i$. לכן $x = 2 \pm 3i$.
9. $x = 3 \pm i$ — לפי נוסחת השורשים, המבחין שלילי ולכן הפתרונות מרוכבים. החלק הממשי של הפתרון הוא $3$ והחלק המדומה $\pm 1i$. לכן $x = 3 \pm i$.
10. $x = -1 \pm i$ — לפי נוסחת השורשים, המבחין שלילי ולכן הפתרונות מרוכבים. החלק הממשי של הפתרון הוא $-1$ והחלק המדומה $\pm 1i$. לכן $x = -1 \pm i$.
11. $2 + 11i$ — כפל איבר באיבר וזכירה ש-$i^2=-1$: החלק הממשי $6-(4)=2$, החלק המדומה $11$. התוצאה $2 + 11i$.
12. $-1 + 17i$ — כפל איבר באיבר וזכירה ש-$i^2=-1$: החלק הממשי $5-(6)=-1$, החלק המדומה $17$. התוצאה $-1 + 17i$.
13. $11 + 10i$ — כפל איבר באיבר וזכירה ש-$i^2=-1$: החלק הממשי $8-(-3)=11$, החלק המדומה $10$. התוצאה $11 + 10i$.
14. $12 + 8i$ — כפל איבר באיבר וזכירה ש-$i^2=-1$: החלק הממשי $2-(-10)=12$, החלק המדומה $8$. התוצאה $12 + 8i$.
15. $8 - 11i$ — כפל איבר באיבר וזכירה ש-$i^2=-1$: החלק הממשי $6-(-2)=8$, החלק המדומה $-11$. התוצאה $8 - 11i$.
16. $-1 + 23i$ — כפל איבר באיבר וזכירה ש-$i^2=-1$: החלק הממשי $6-(7)=-1$, החלק המדומה $23$. התוצאה $-1 + 23i$.
17. $18$ — כפל איבר באיבר וזכירה ש-$i^2=-1$: החלק הממשי $9-(-9)=18$, החלק המדומה $0$. התוצאה $18$.
18. $10$ — כפל איבר באיבר וזכירה ש-$i^2=-1$: החלק הממשי $8-(-2)=10$, החלק המדומה $0$. התוצאה $10$.
19. $3 + 4i$ — לפי נוסחת הריבוע $(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=a^2-b^2+2abi$. כאן $=4-1+4i=3+4i$. התוצאה $3 + 4i$.
20. $-8 + 6i$ — לפי נוסחת הריבוע $(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=a^2-b^2+2abi$. כאן $=1-9+6i=-8+6i$. התוצאה $-8 + 6i$.
21. $5 + 12i$ — לפי נוסחת הריבוע $(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=a^2-b^2+2abi$. כאן $=9-4+12i=5+12i$. התוצאה $5 + 12i$.
22. $2i$ — לפי נוסחת הריבוע $(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=a^2-b^2+2abi$. כאן $=1-1+2i=0+2i$. התוצאה $2i$.
23. $-5 + 12i$ — לפי נוסחת הריבוע $(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=a^2-b^2+2abi$. כאן $=4-9+12i=-5+12i$. התוצאה $-5 + 12i$.
24. $15 + 8i$ — לפי נוסחת הריבוע $(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=a^2-b^2+2abi$. כאן $=16-1+8i=15+8i$. התוצאה $15 + 8i$.
25. $-2+2i$ — ידוע $(1+i)^{2}=2i$, ולכן $(1+i)^{3}=(1+i)^{2}(1+i)=2i(1+i)=2i+2i^{2}=2i-2=-2+2i$.
26. $i$ — מכפילים בצמוד המכנה: $\dfrac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{(1+i)^{2}}{2}=\dfrac{2i}{2}=i$.
27. $1+2i$ — מכפילים בצמוד $1+i$: $\dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{3+3i+i+i^{2}}{2}=\dfrac{3+4i-1}{2}=\dfrac{2+4i}{2}=1+2i$.
28. $1+i$ — מכפילים בצמוד $1-i$: $\dfrac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{2i-2i^{2}}{2}=\dfrac{2i+2}{2}=1+i$.
29. $x=1\pm 2i$ — לפי הנוסחה: $x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\dfrac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=\dfrac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$.
30. $x=-2\pm 3i$ — $x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-52}}{2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{-36}}{2}=\dfrac{-4\pm 6i}{2}=-2\pm 3i$.
31. $x=-1\pm i$ — $x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{-4}}{2}=\dfrac{-2\pm 2i}{2}=-1\pm i$.
32. $\dfrac{2x}{x^{2}+1}$ — $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ עם $u=x^{2}+1$, $u'=2x$, ולכן $\dfrac{2x}{x^{2}+1}$.
33. $(x+1)e^{x}$ — כלל המכפלה: $(xe^{x})'=1 \cdot e^{x}+x \cdot e^{x}=e^{x}(1+x)=(x+1)e^{x}$.
34. $\ln x+1$ — כלל המכפלה: $(x\ln x)'=1 \cdot\ln x+x \cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1$.
35. $x=-1$ — $f'(x)=(x+1)e^{x}$. מאחר ש-$e^{x}>0$ תמיד, הנגזרת מתאפסת כאשר $x+1=0$, כלומר $x=-1$.
36. $x=0$ — כאשר $x \to 0^{+}$, $\ln x \to -\infty$, ולכן ציר ה-$y$ (הישר $x=0$) הוא אסימפטוטה אנכית.
37. $x=1$ — $f'(x)=1-\dfrac{1}{x}$. מאפסים: $1-\dfrac{1}{x}=0 \Rightarrow x=1$. זהו מינימום.
38. $2xe^{x^{2}}$ — כלל השרשרת: $(e^{u})'=u' \cdot e^{u}$ עם $u=x^{2}$, $u'=2x$, ולכן $2xe^{x^{2}}$.
39. $x=e$ — לפי כלל המנה: $f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x} \cdot x-\ln x \cdot 1}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$. מאפסים את המונה: $1-\ln x=0 \Rightarrow \ln x=1 \Rightarrow x=e$.