חדו״א — כיתה י"ב · 5 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $1 - e^{-2}$ — $[-e^{-x}]_0^2=-e^{-2}-(-1)=1-e^{-2}$. מציבים גבול עליון פחות גבול תחתון בפונקציה הקדומה.
2. $2x^{3}+C$ — $\int 6x^{2}dx=6 \cdot\dfrac{x^{3}}{3}+C=2x^{3}+C$.
3. $\frac{4}{3}$ — $\int_0^2(2x-x^2)dx=[x^2-\frac{1}{3}x^3]_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$. בתחום זה $2x \ge x^2$. השטח מחושב באמצעות אינטגרל מסוים בין גבולות התחום.
4. $3e^{3x}$ — כלל השרשרת: $e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
5. $1$ — $\int\frac{1}{x}\,dx=\ln x$. הצבה: $\ln e-\ln 1=1-0=1$.
6. $\frac{32}{3}$ — חיתוך ב-$x=\pm 2$. שטח $=\int_{-2}^2 (4-x^2)\,dx=\frac{32}{3}$ (כמו בשאלה הפרבולית הקודמת).
7. $5\ln|x| + c$ — $\int\frac5x dx=5\ln|x|+c$. אין לשכוח $+c$.
8. $e - 1$ — $\int_0^1 e^x dx=[e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1$. משתמשים במשפט היסודי של החדו"א: מציבים את הגבול העליון פחות הגבול התחתון בפונקציה הקדומה.
9. $\frac{1}{x}$ — $(\ln 5x)'=\frac{1}{5x}\cdot 5=\frac{1}{x}$. זכרו את הכללים הבסיסיים לגזירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות.
10. $x^4 + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$. מעלים את החזקה ב-1 ומחלקים בחזקה החדשה. התוצאה: $x^4 + c$. אין לשכוח את קבוע האינטגרציה $c$.
11. $-10$ — היפוך גבולות האינטגרציה הופך את הסימן: $\int_b^a f=-\int_a^b f=-10$.
12. $9$ — השטח הוא $\int_{0}^{3} x^{2}dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\dfrac{27}{3}-0=9$.
13. $y = 0$ — כאשר $x \to -\infty$ הפונקציה $e^x$ שואפת ל-0, ולכן יש אסימפטוטה אופקית $y=0$. הכירו את התכונות הבסיסיות של הפונקציות $e^x$ ו-$\ln x$.
14. $1$ — כל מספר בחזקת 0 שווה 1, ולכן $e^0=1$. הכירו תכונות $e^x$ ו-$\ln x$.
15. $0$ — אינטגרל מסוים שגבולותיו שווים שווה תמיד ל-$0$.
16. $2$ — $\int\dfrac{1}{x}dx=\ln x$. הצבה: $\ln(e^{2})-\ln 1=2-0=2$.
17. $\frac{5}{2}e^{2x} + c$ — $\int 5e^{2x}dx=5\cdot\frac{1}{2}e^{2x}+c=\frac{5}{2}e^{2x}+c$. אין לשכוח את קבוע האינטגרציה $c$.
18. $0$ — $\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}$. הצבה: $\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$ (פונקציה אי-זוגית בקטע סימטרי).
19. $\frac{1}{x}$ — $(\ln 3x)'=\frac{1}{3x}\cdot3=\frac{1}{x}$. שימוש בכללי הגזירה (שרשרת/מכפלה/מנה).
20. $2x^3 + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$. מעלים את החזקה ב-1 ומחלקים בחזקה החדשה. התוצאה: $2x^3 + c$. אין לשכוח את קבוע האינטגרציה $c$.