חדו״א — כיתה י׳ · יסודות בגרות

מפתח תשובות ופתרונות

1. 9 — f ≥ 0 בקטע. שטח = ∫[0..3] x² dx = 27/3 = 9.
2. (0, 0) — f'(x) = 6x² − 6x = 6x(x−1). ב-x=0 שינוי +→− ⇒ מקסימום. f(0)=0.
3. 3x² − 3 — פתח: f(x) = x³ − 3x. f'(x) = 3x² − 3.
4. −4/3 — F=x³/3+x². F(0)−F(−2)=0−(−8/3+4)=−4/3.
5. כן — f(−x) = x⁴ − 8x² + 3 = f(x). כל החזקות זוגיות + קבוע → זוגית.
6. (−1, 0), (5, 0) — x² − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1) = 0 ⇒ x = 5 או x = −1.
7. −5 — f'(x) = 4x³ + 6x² − 5. f'(0) = −5.
8. (2, −16) — f'=3x²−12=3(x−2)(x+2). ב-x=2 מעבר −→+ → מינימום. f(2)=8−24=−16.
9. 36 — x + y = 12. A = x(12 − x). A'(x) = 12 − 2x = 0 ⇒ x = 6. A = 6·6 = 36 (ריבוע).
10. 32/3 — שורשים ±2. השטח = |∫[−2..2](x²−4)dx| = |[x³/3−4x]| = |16/3−16/3·... | חישוב: F(2)−F(−2) = (8/3−8)−(−8/3+8) = −32/3. שטח = 32/3.
11. 2 — f'(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x−3)(x+1). שני שורשים שונים עם שינוי סימן → 2 קיצונים.
12. 1/2 — F(x) = x²/2. F(1) − F(0) = 1/2.
13. (3, 0) — ב-x=3 שינוי סימן −→+ ⇒ מינימום. f(3) = 27 − 54 + 27 = 0.
14. קמורה כלפי מעלה — f''>0 ⇒ קעירות כלפי מעלה (concave up).
15. אין נקודות — Δ = 16 − 28 = −12 < 0. אין שורשים ממשיים.
16. 20 — f(x) = x⁴ + C. f(1) = 1 + C = 5 ⇒ C = 4. f(2) = 16 + 4 = 20.
17. y = −2 ו-y = 2 — f'(x) = 0 ⇒ x = ±1. f(1) = −2, f(−1) = 2. שני משיקים אופקיים.
18. 32/3 — שורשים ±2, f>0. שטח = ∫[−2..2](4−x²)dx = [4x−x³/3] = 16−16/3·... = 32/3.
19. 0 — F=x⁴−x³. F(1)−F(0)=0.
20. 18 — ניצבים: x, 12−x. שטח = x(12−x)/2. נגזרת: (12 − 2x)/2 = 0 ⇒ x = 6. שטח = 6·6/2 = 18.