טריגונומטריה — כיתה י"ב · 4 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $\frac{1}{2}$ — הזווית $30^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
2. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הזווית $45^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. $\sqrt{3}$ — הזווית $60^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.
4. $-\frac{1}{2}$ — הזווית $120^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.
5. $-1$ — הזווית $135^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(135^\circ) = -1$.
6. $0$ — הזווית $180^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(180^\circ) = 0$.
7. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הזווית $210^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(210^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
8. $1$ — הזווית $225^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(225^\circ) = 1$.
9. $-1$ — הזווית $270^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(270^\circ) = -1$.
10. $-\sqrt{3}$ — הזווית $300^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(300^\circ) = -\sqrt{3}$.
11. $\frac{12}{13}$ — לפי הזהות $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ מקבלים $\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}$. ברביע הראשון הקוסינוס חיובי, ולכן $\cos x = \frac{12}{13}$.
12. $\frac{15}{17}$ — לפי הזהות $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ מקבלים $\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}$. ברביע הראשון הקוסינוס חיובי, ולכן $\cos x = \frac{15}{17}$.
13. $\frac{5}{12}$ — לפי ההגדרה $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}$.
14. $\frac{8}{15}$ — לפי ההגדרה $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}} = \frac{8}{15}$.
15. $\tan x$ — לפי הזהויות הטריגונומטריות הבסיסיות, הביטוי $\frac{\sin x}{\cos x}$ שווה ל-$\tan x$.
16. $1$ — לפי הזהויות הטריגונומטריות הבסיסיות, הביטוי $(\sin x + \cos x)^2 - 2\sin x\cos x$ שווה ל-$1$.
17. $-\frac{7}{25}$ — לפי זהות הזווית הכפולה $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\frac{3}{5})^2-(\frac{4}{5})^2 = -\frac{7}{25}$.
18. $\frac{1}{2}$ — לפי זהות הזווית הכפולה $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2-(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$.
19. $-\frac{1}{2}$ — מחשבים את הזווית שבסוגריים ואז את הערך: $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.
20. $0$ — מחשבים את הזווית שבסוגריים ואז את הערך: $\cos 90^\circ = 0$.
21. $\cos 2x$ — לפי נוסחאות הסכום, ההפרש והזווית הכפולה, הביטוי שווה ל-$\cos 2x$.
22. $\cos a\cos b + \sin a\sin b$ — לפי נוסחאות הסכום, ההפרש והזווית הכפולה, הביטוי שווה ל-$\cos a\cos b + \sin a\sin b$.
23. $x=30^\circ,\ 330^\circ$ — הפתרונות בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ הם $30^\circ$ ו-$330^\circ$, כלומר $x=30^\circ,\ 330^\circ$.
24. $x=0^\circ$ — הפתרונות בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ הם $0^\circ$ (או $360^\circ$), כלומר $x=0^\circ$.
25. $x=120^\circ,\ 240^\circ$ — הפתרונות בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ הם $120^\circ$ ו-$240^\circ$, כלומר $x=120^\circ,\ 240^\circ$.
26. $x=60^\circ,\ 240^\circ$ — לטנגנס מחזור של $180^\circ$, ולכן הפתרונות הם $60^\circ$ ו-$240^\circ$, כלומר $x=60^\circ,\ 240^\circ$.
27. $x = 180^\circ k$ — $\sin x = 0$ כאשר $x$ הוא כפולה שלמה של $180^\circ$, כלומר $x=180^\circ k$. (כאשר $k$ מספר שלם).
28. $x = 360^\circ k$ — $\cos x = 1$ רק ב-$0^\circ$ (עד כדי סיבוב מלא), כלומר $x=360^\circ k$. (כאשר $k$ מספר שלם).
29. $\sqrt{76}$ — לפי חוק הקוסינוסים $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 36 + 100 - 2\cdot6\cdot10\cdot(\frac12)$, ולכן $c = \sqrt{76}$.
30. $4$ — לפי חוק הסינוסים $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$, ולכן $b = \frac{a\sin B}{\sin A} = \frac{8\cdot\sin 30^\circ}{\sin 90^\circ} = 4$.
31. $90^\circ$ — לפי חוק הקוסינוסים $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{9+16-25}{2\cdot3\cdot4} = 0$, ולכן $A = 90^\circ$.
32. $6\sqrt{3}$ — שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}\cdot4\cdot6\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 6\sqrt{3}$.
33. $25\sqrt{3}$ — שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}\cdot10\cdot10\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 25\sqrt{3}$.
34. $180^\circ$ — מחזור של $\sin(bx)$ הוא $\frac{360^\circ}{b}=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ$.
35. $4$ — מקסימום של $\sin x$ הוא $1$, ולכן המקסימום של $4\sin x$ הוא $4$.
36. $\frac{1}{2}$ — האמפליטודה היא $|\frac12|=\frac12$.
37. $-2 \le y \le 2$ — האמפליטודה $2$, ולכן הערכים בין $-2$ ל-$2$.
38. $6$ — האמפליטודה היא המקדם $6$; המספר $2$ משפיע רק על המחזור.