טריגונומטריה — כיתה י"ב · 4 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $\frac{1}{2}$ — הזווית $30^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
2. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הזווית $45^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. $\sqrt{3}$ — הזווית $60^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.
4. $-\frac{1}{2}$ — הזווית $120^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.
5. $-1$ — הזווית $135^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(135^\circ) = -1$.
6. $0$ — הזווית $180^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(180^\circ) = 0$.
7. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הזווית $210^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(210^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
8. $1$ — הזווית $225^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(225^\circ) = 1$.
9. $-1$ — הזווית $270^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(270^\circ) = -1$.
10. $-\sqrt{3}$ — הזווית $300^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(300^\circ) = -\sqrt{3}$.
11. $\frac{12}{13}$ — לפי הזהות $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ מקבלים $\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}$. ברביע הראשון הקוסינוס חיובי, ולכן $\cos x = \frac{12}{13}$.
12. $\frac{15}{17}$ — לפי הזהות $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ מקבלים $\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}$. ברביע הראשון הקוסינוס חיובי, ולכן $\cos x = \frac{15}{17}$.
13. $\frac{5}{12}$ — לפי ההגדרה $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}$.
14. $\frac{8}{15}$ — לפי ההגדרה $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}} = \frac{8}{15}$.
15. $\tan x$ — לפי הזהויות הטריגונומטריות הבסיסיות, הביטוי $\frac{\sin x}{\cos x}$ שווה ל-$\tan x$.
16. $1$ — לפי הזהויות הטריגונומטריות הבסיסיות, הביטוי $(\sin x + \cos x)^2 - 2\sin x\cos x$ שווה ל-$1$.
17. $-\frac{7}{25}$ — לפי זהות הזווית הכפולה $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\frac{3}{5})^2-(\frac{4}{5})^2 = -\frac{7}{25}$.
18. $\frac{1}{2}$ — לפי זהות הזווית הכפולה $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2-(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$.
19. $-\frac{1}{2}$ — מחשבים את הזווית שבסוגריים ואז את הערך: $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.
20. $0$ — מחשבים את הזווית שבסוגריים ואז את הערך: $\cos 90^\circ = 0$.