אלגברה — כיתה י"ב · 4 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $\frac{3}{2}$ — מבססים על $3$: $9^x = 3^{2x}$ ו-$27 = 3^3$, לכן $2x = 3$ ומכאן $x = \frac{3}{2}$.
2. $\frac{2}{3}$ — מבססים על $2$: $2^{3x} = 2^2$, לכן $3x = 2$ ומכאן $x = \frac{2}{3}$.
3. $\frac{3}{2}$ — מבססים על $2$: $2^{2x} = 2^3$, לכן $2x = 3$ ומכאן $x = \frac{3}{2}$.
4. $x = \pm 2$ — $16 = 2^4$, לכן $x^2 = 4$ ומכאן $x = \pm 2$.
5. $x = \pm\sqrt{3}$ — $9 = 3^2$, לכן $x^2-1 = 2$, $x^2 = 3$ ומכאן $x = \pm\sqrt{3}$.
6. $x = 0, \; x = 2$ — נציב $t = 2^x$: $t^2 - 5t + 4 = 0$ ומכאן $t = 1$ או $t = 4$. אם $2^x = 1$ אז $x = 0$; אם $2^x = 4$ אז $x = 2$.
7. $x = 0, \; x = 1$ — נציב $t = 3^x$: $t^2 - 4t + 3 = 0$ ומכאן $t = 1$ או $t = 3$. אם $3^x = 1$ אז $x = 0$; אם $3^x = 3$ אז $x = 1$.
8. $-3$ — $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$, לכן $\log_{1/2} 8 = -3$.
9. $\frac{3}{2}$ — בסס על $2$: $\log_{4} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$.
10. $\frac{3}{2}$ — בסס על $3$: $\log_{9} 27 = \frac{\log_3 27}{\log_3 9} = \frac{3}{2}$.
11. $7$ — לפי זהות הלוגריתם, $a^{\log_a x} = x$, ולכן $2^{\log_2 7} = 7$.
12. $5$ — $10^{\log 5} = 5$ לפי זהות הלוגריתם.
13. $3$ — לפי נוסחת מעבר בסיס: $\log_2 3 \cdot \log_3 8 = \log_2 8 = 3$.
14. $a + 2$ — $\log_2 12 = \log_2(4\cdot 3) = \log_2 4 + \log_2 3 = 2 + a$.
15. $b + 1$ — $\log_2 10 = \log_2(2\cdot 5) = 1 + \log_2 5 = 1 + b$.
16. $0$ — $\log_a(x^2) = 2\log_a x$, ולכן $2\log_a x - 2\log_a x = 0$.
17. $\frac{5}{2}$ — $\sqrt{32} = 32^{1/2} = 2^{5/2}$, לכן $\log_2 \sqrt{32} = \frac{5}{2}$.
18. $3$ — $\log_3 81 = 4$ ו-$\log_2 \frac{1}{2} = -1$, לכן $4 + (-1) = 3$.
19. $3$ — $\log_4 2 + \log_4 32 = \log_4 64 = 3$ (כי $4^3 = 64$).
20. $3$ — $\log_2 6 - \log_2 3 + \log_2 4 = \log_2\frac{6\cdot 4}{3} = \log_2 8 = 3$.
21. $4$ — $x^2 = 16$ ו-$x>0$, $x\neq 1$, לכן $x = 4$.
22. $4$ — $\log_2[x(x-2)] = 3$, לכן $x(x-2) = 8$, $x^2-2x-8=0$, $x=4$ או $x=-2$. הפתרון $x=-2$ נפסל (תחום הגדרה דורש $x>2$). לכן $x=4$.
23. $3$ — $\log_3[x(x+6)] = 3$, לכן $x(x+6) = 27$, $x^2+6x-27=0$, $x=3$ או $x=-9$. $x=-9$ נפסל (דורש $x>0$). לכן $x=3$.
24. $x = 4$ או $x = -1$ — $x^2 = 3x+4$, $x^2-3x-4=0$, $x=4$ או $x=-1$. בדיקה: עבור $x=4$, $x^2=16>0$ ו-$3x+4=16>0$ — תקין; עבור $x=-1$, $x^2=1>0$ ו-$3x+4=1>0$ — תקין. שני הפתרונות מתקבלים.
25. $3$ — $\log_2[(x-1)(x+1)] = 3$, לכן $x^2-1 = 8$, $x^2 = 9$, $x = \pm 3$. $x=-3$ נפסל (דורש $x>1$). לכן $x=3$.
26. $3$ — $x^3 = 27$ ו-$x>0$, לכן $x = 3$.
27. $5$ — $\log[x(x-3)] = 1$, לכן $x(x-3) = 10$, $x^2-3x-10=0$, $x=5$ או $x=-2$. $x=-2$ נפסל (דורש $x>3$). לכן $x=5$.
28. $2$ — $\log_2 \frac{x}{x-1} = 1$, לכן $\frac{x}{x-1} = 2$, $x = 2(x-1) = 2x-2$, $x = 2$. בדיקה תקינה ($x>1$).
29. $x = 4$ או $x = -1$ — $x^2-3x = 2^2 = 4$, $x^2-3x-4=0$, $x=4$ או $x=-1$. בדיקה: עבור $x=4$: $16-12=4>0$ תקין; עבור $x=-1$: $1+3=4>0$ תקין. שניהם מתקבלים.
30. $x = 2$ או $x = 4$ — הצב $t = \log_2 x$: $t^2-3t+2=0$, $t=1$ או $t=2$. אם $\log_2 x = 1$ אז $x=2$; אם $\log_2 x = 2$ אז $x=4$.
31. $9$ — מעלים בריבוע: $x = (x-6)^2 = x^2-12x+36$, $x^2-13x+36=0$, $x=9$ או $x=4$. בדיקה: עבור $x=9$: $\sqrt9=3=9-6$ תקין; עבור $x=4$: $\sqrt4=2$ אך $4-6=-2$, לא שווה — פתרון זר. לכן $x=9$ בלבד.
32. $2$ — מעלים בריבוע: $x+2 = x^2$, $x^2-x-2=0$, $x=2$ או $x=-1$. בדיקה: $x=2$: $\sqrt4=2$ תקין; $x=-1$: $\sqrt1=1$ אך $x=-1$, לא שווה — זר. לכן $x=2$.
33. $4$ — מעלים בריבוע: $3x+4 = x^2$, $x^2-3x-4=0$, $x=4$ או $x=-1$. בדיקה: $x=4$: $\sqrt{16}=4$ תקין; $x=-1$: $\sqrt1=1\neq -1$ — זר. לכן $x=4$.
34. $4$ — מעבירים: $\sqrt{x} = x-2$, מעלים בריבוע: $x = x^2-4x+4$, $x^2-5x+4=0$, $x=4$ או $x=1$. בדיקה: $x=4$: $2+2=4$ תקין; $x=1$: $1+2=3\neq 1$ — זר. לכן $x=4$.
35. $7$ — מעלים בריבוע: $x-3 = x^2-10x+25$, $x^2-11x+28=0$, $x=7$ או $x=4$. בדיקה: $x=7$: $\sqrt4=2=7-5$ תקין; $x=4$: $\sqrt1=1$ אך $4-5=-1$ — זר. לכן $x=7$.
36. $3$ — מעלים בריבוע: $2x+3 = x^2$, $x^2-2x-3=0$, $x=3$ או $x=-1$. בדיקה: $x=3$: $\sqrt9=3$ תקין; $x=-1$: $\sqrt1=1\neq -1$ — זר. לכן $x=3$.
37. $4$ — מעלים בריבוע: $x+5 = x^2-2x+1$, $x^2-3x-4=0$, $x=4$ או $x=-1$. בדיקה: $x=4$: $\sqrt9=3=4-1$ תקין; $x=-1$: אגף ימין $-2<0$ — זר. לכן $x=4$.
38. $x = \pm 5$ — $x^2-9 = 16$, $x^2 = 25$, $x = \pm 5$. בדיקה: עבור שניהם $x^2-9=16\geq 0$ — תקין.
39. $2$ — מעלים בריבוע: $x+7 = x^2+2x+1$, $x^2+x-6=0$, $x=2$ או $x=-3$. בדיקה: $x=2$: $\sqrt9=3=2+1$ תקין; $x=-3$: אגף ימין $-2<0$ — זר. לכן $x=2$.
40. $0$ ו-$3$ — מעלים בריבוע: $5x+1 = x^2+2x+1$, $x^2-3x=0$, $x=0$ או $x=3$. בדיקה: $x=0$: $\sqrt1=1=0+1$ תקין; $x=3$: $\sqrt{16}=4=3+1$ תקין. שניהם מתקבלים.