אלגברה — כיתה י"ב · 4 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $\frac{3}{2}$ — מבססים על $3$: $9^x = 3^{2x}$ ו-$27 = 3^3$, לכן $2x = 3$ ומכאן $x = \frac{3}{2}$.
2. $\frac{2}{3}$ — מבססים על $2$: $2^{3x} = 2^2$, לכן $3x = 2$ ומכאן $x = \frac{2}{3}$.
3. $\frac{3}{2}$ — מבססים על $2$: $2^{2x} = 2^3$, לכן $2x = 3$ ומכאן $x = \frac{3}{2}$.
4. $x = \pm 2$ — $16 = 2^4$, לכן $x^2 = 4$ ומכאן $x = \pm 2$.
5. $x = \pm\sqrt{3}$ — $9 = 3^2$, לכן $x^2-1 = 2$, $x^2 = 3$ ומכאן $x = \pm\sqrt{3}$.
6. $x = 0, \; x = 2$ — נציב $t = 2^x$: $t^2 - 5t + 4 = 0$ ומכאן $t = 1$ או $t = 4$. אם $2^x = 1$ אז $x = 0$; אם $2^x = 4$ אז $x = 2$.
7. $x = 0, \; x = 1$ — נציב $t = 3^x$: $t^2 - 4t + 3 = 0$ ומכאן $t = 1$ או $t = 3$. אם $3^x = 1$ אז $x = 0$; אם $3^x = 3$ אז $x = 1$.
8. $-3$ — $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$, לכן $\log_{1/2} 8 = -3$.
9. $\frac{3}{2}$ — בסס על $2$: $\log_{4} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$.
10. $\frac{3}{2}$ — בסס על $3$: $\log_{9} 27 = \frac{\log_3 27}{\log_3 9} = \frac{3}{2}$.
11. $7$ — לפי זהות הלוגריתם, $a^{\log_a x} = x$, ולכן $2^{\log_2 7} = 7$.
12. $5$ — $10^{\log 5} = 5$ לפי זהות הלוגריתם.
13. $3$ — לפי נוסחת מעבר בסיס: $\log_2 3 \cdot \log_3 8 = \log_2 8 = 3$.
14. $a + 2$ — $\log_2 12 = \log_2(4\cdot 3) = \log_2 4 + \log_2 3 = 2 + a$.
15. $b + 1$ — $\log_2 10 = \log_2(2\cdot 5) = 1 + \log_2 5 = 1 + b$.
16. $0$ — $\log_a(x^2) = 2\log_a x$, ולכן $2\log_a x - 2\log_a x = 0$.
17. $\frac{5}{2}$ — $\sqrt{32} = 32^{1/2} = 2^{5/2}$, לכן $\log_2 \sqrt{32} = \frac{5}{2}$.
18. $3$ — $\log_3 81 = 4$ ו-$\log_2 \frac{1}{2} = -1$, לכן $4 + (-1) = 3$.
19. $3$ — $\log_4 2 + \log_4 32 = \log_4 64 = 3$ (כי $4^3 = 64$).
20. $3$ — $\log_2 6 - \log_2 3 + \log_2 4 = \log_2\frac{6\cdot 4}{3} = \log_2 8 = 3$.