סימולציה לקבלה לכיתת מצוינות — כיתה ז'

פתרונות

1. 3n-48 — 3(n-16) = 3·n-3·16 = 3n-48.
2. 20 — 20°.
3. אין פתרון — פתיחת סוגריים: 3x + 6 = 3x + 10. חיסור 3x: 6 = 10 — סתירה. אין פתרון.
4. 6 — לתיבה יש 6 פאות, 12 מקצועות, 8 קודקודים.
5. 3 שעות, 270 ק״מ מ-א׳ — שלב 1: קצב התקרבות = 90 + 60 = 150 ק״מ לשעה. שלב 2: זמן = 450 ÷ 150 = 3 שעות. שלב 3: א׳ נסע 90 × 3 = 270 ק״מ.
6. 2*p+6 — עלות = מחיר × כמות + תשלום קבוע ⇒ 2*p+6.
7. 9x+6 — פילוג: 2x+6. מוסיפים 7x: (2+7)x+6=9x+6.
8. 540 — שטח פנים = 2·שטח בסיס + היקף·גובה = 2·30 + 30·16 = 60+480 = 540 סמ"ר.
9. 98 ס״מ² — שטח = d²÷2 = 14²÷2 = 196÷2 = 98 ס״מ²
10. 110 — 40+70=110°.
11. 24 — (4 + 2) × 4 = 6 × 4 = 24.
12. אם spacetime מכיל trapped surface ו-Ric(v,v)≥0, יש singularity (incomplete geodesic) — Penrose 1965: trapped surface + energy condition → geodesic incompleteness (singularity).
13. 72 — שטח משולש = (4·3)/2 = 6. V = 6·12 = 72 סמ"ק.
14. 35 מ׳ — c² = 21² + 28² = 441 + 784 = 1225, לכן c = 35 מ׳.
15. 6 — שתי הנקודות על אותו קו אנכי (x = −3). המרחק = |y₂ − y₁| = |4 − (−2)| = 6.
16. 64π ס״מ² — שטח טבעת = π(R² − r²) = π(100 − 36) = 64π ס״מ².
17. 3n-33 — 3(n-11) = 3·n-3·11 = 3n-33.
18. 29 — 29°.
19. פתרון יחיד — מחלקים ב-2: a=14. פתרון יחיד.
20. כן — מתקיים — מציבים x=3: שמאל 8(3+5)=64, ימין 8·3+40=64=64. מתקיים.
21. לא — מציבים k=3: 3+5=8≠7. לא פתרון.
22. 10 — 36 + 64 = 100, ו־√100 = 10.
23. 1 — פותרים את המשוואה ומוצאים n=1. אפשר להיעזר בהצבה חוזרת.
24. x = 1200 · 0.80 ⇒ x = 960 ש״ח — מחיר אחרי הנחה של 20% הוא 80% מהמחיר: 1200 · 0.80 = 960 ש״ח.
25. 3y-3 — 3(y-1) = 3·y-3·1 = 3y-3.
26. 2²·5² — טפלו בכל בסיס בנפרד: 2³ : 2¹ = 2², ו-5⁴ : 5² = 5². התוצאה 2²·5².
27. 2n + 1 — (n+1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1.
28. 4y+4 — פילוג: 2y+4. מוסיפים 2y: (2+2)y+4=4y+4.
29. -7 — 2*b-1 עם b=-3: -7.
30. 10 ש״ח — רווח = 50 − 40 = 10 ש״ח.
31. 56.52 ס״מ² — שטח עיגול מלא = 3.14 × 6² = 113.04 ס״מ². שטח חצי עיגול = 113.04 ÷ 2 = 56.52 ס״מ²
32. 20 — 2·(9+1)=2·10=20, וגם 2·9+2=18+2=20. זהות מתקיימת לכל m.
33. 5a+2 — מכנסים איברים דומים: 1a+4a=(1+4)a=5a+2.
34. 360 — שטח פנים = 2·שטח בסיס + היקף·גובה = 2·30 + 30·10 = 60+300 = 360 סמ"ר.
35. 90 סמ״ר — שטח = (18 × 10) / 2 = 180 / 2 = 90 סמ״ר.
36. 84 — זוויות הבסיס שוות. סכום הזוויות 180°. לכן הראש = 180 - 2·48 = 84°.
37. 1 — a^m / a^n = a^(m−n) = 7^(6−5) = 7^1.
38. 16 — 16°.
39. 6 — לתיבה יש 6 פנים: למעלה, למטה, קדמי, אחורי, ימני ושמאלי. כל פן הוא מלבן.
40. x ≥ 7 — פותחים: 3x − 3 ≥ 2x + 4. מעבירים: x ≥ 7.
41. ind(D)=∫_M ch(σ(D))·td(TM⊗ℂ) — Atiyah-Singer: ind(D)=∫_M ch(σ(D))·td(TM⊗ℂ). מחבר אנליזה לטופולוגיה.
42. האלכסונים שווים — במקבילית כללית האלכסונים חוצים זה את זה, אך אינם בהכרח שווים. שוויון האלכסונים הוא תכונה של מלבן וריבוע בלבד (בקרב המקביליות).
43. 3t+36 — לפי חוק הפילוג: 3(t+12) = 3·t+3·12 = 3t+36.
44. 13n — 2n+11n=(2+11)n=13n.
45. 98 — V = אורך · רוחב · גובה = 2·7·7 = 98 סמ"ק.
46. 10 — 2·(2+3)=2·5=10, וגם 2·2+6=4+6=10. זהות מתקיימת לכל t.
47. 35 — הפרש אופקי = 21, אנכי = 28. d = √(21²+28²) = 35.
48. 2k+12 — לפי חוק הפילוג: 2(k+6) = 2·k+2·6 = 2k+12.
49. 1 — a^m / a^n = a^(m−n) = 9^(5−4) = 9^1.
50. יתר — היתר היא הצלע הנגדית לזווית הישרה, והיא הארוכה ביותר.