סימולציה לקבלה לכיתת מצוינות — כיתה ז'

פתרונות

1. 17 — לפי פיתגורס: c² = a² + b² = 64+225 = 289. c = √289 = 17 ס"מ.
2. לא — 14²+48² = 2500, 51² = 2601. שונים → לא ישר-זווית.
3. 600 מ׳ — 400:80 = x:120 → 80x = 48,000 → x = 600. ב־120 שניות ירוץ 600 מטרים.
4. כן — 3·120 = 360°. לכן מרצף.
5. 60 ש״ח — 1.15x = 69, ולכן x = 69 ÷ 1.15 = 60.
6. 8 — 2·(1+3)=2·4=8, וגם 2·1+6=2+6=8. זהות מתקיימת לכל y.
7. 11n+9 — מכנסים את מקדמי n: 11n, ונשאר החופשי 9.
8. כן — מציבים x=2: 10·2=20. מתקיים.
9. כן — סכום: 10+14+156=180°. אם =180° — ייתכן.
10. 3y-15 — 3(y-5) = 3·y-3·5 = 3y-15.
11. 8 ס״מ — חצי היקף: 40:2 = 20. הצלע השנייה: 20־12 = 8 ס״מ.
12. 63 — 63°.
13. 8 כסף ישנות; 27 נחושת חדשות — מטבעות ישנות: ⅖×60 = 24. מטבעות כסף ישנות: ⅓×24 = 8. מטבעות חדשות: 60−24 = 36. מטבעות נחושת חדשות: ¾×36 = 27.
14. 148 — זווית חיצונית = סכום שתי הפנימיות הרחוקות. 11+137=148°.
15. צ.צ.צ — בריבוע AB=CD, BC=DA, AC=CA (משותפת). שלוש צלעות שוות — חפיפה לפי צ.צ.צ.
16. -2 — (n+3)*2 עם n=-4: -2.
17. 47 — 3² = 9, 2³ = 8, 5² = 25. הביטוי: 9 · 8 — 25 = 72 — 25 = 47.
18. 2y+16 — פילוג: 2(y+4)=2y+8. מוסיפים 8: 2y+8+8=2y+16.
19. 18 — (a^m)^n = a^(m·n) = 7^(6·3) = 7^18.
20. 9 — 3x = 27 → x = 9.
21. 7 — מחסרים 5 משני הצדדים: x=12-5=7.
22. 136 — 136°.
23. 2744 — V = a³ = 14³ = 2744 סמ"ק.
24. 12 ס״מ — היקף ריבוע = 4 × 9 = 36 ס״מ. היקף משולש שוויוני = 3 × צלע = 36. צלע = 12 ס״מ.
25. סיבוב 180° — מ-(-2,-5) ל-(2,5) — סיבוב 180°.
26. 30° — 90° − 60° = 30°. הזווית המשלימה ל-60° היא 30°.
27. 116 — זווית חיצונית = סכום שתי הפנימיות הרחוקות. 11+105=116°.
28. מסגרת חדשה ל-algebra ו-geometry המחליפה topological spaces ב-condensed sets — Condensed math (Clausen-Scholze): condensed set=sheaf on CompHaus. פותר בעיות topological algebra.
29. 180 ש״ח — 10% מתוך 200 הם 20. המחיר החדש: 200 − 20 = 180 ש״ח.
30. כן — 27²+36² = 2025, 45² = 2025. שווים → ישר-זווית.
31. 45 — הפרש אופקי = 27, אנכי = 36. d = √(27²+36²) = 45.
32. 50 — הפרש אופקי = 30, אנכי = 40. d = √(30²+40²) = 50.
33. משולש שווה צלעות — במשולש שווה צלעות כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות (60° כל אחת).
34. 11 — זוויות צמודות משלימות ל-180°. 180-169=11°.
35. 3 ו־2 — בפרופורציה 3:6 = 1:2, האיברים החיצוניים הם הראשון והאחרון — כלומר 3 ו־2.
36. (6, 8, 11) — 6²+8²=36+64=100≠121=11². האחרות: 5²+12²=169=13², 8²+15²=289=17², 7²+24²=625=25².
37. 5 — מוסיפים 2: −3 ≤ 3x < 12. מחלקים ב-3: −1 ≤ x < 4. ערכים שלמים: −1, 0, 1, 2, 3 — חמישה ערכים.
38. 10 — נסמן את גיל הבן ב־x. גיל האב הוא 3x. בעוד 10 שנים: 3x + 10 = 2(x + 10), כלומר 3x + 10 = 2x + 20, ולכן x = 10.
39. 40 — הצלעות הניצבות: 8 (גובה) ו-8, 14 (בסיסים). הצלע הנטויה היא וֶתֶר במשולש ישר-זווית שניצביו הפרש הבסיסים (14−8=6) והגובה (8): צלע נטויה = √(6² + 8²) = √100 = 10. היקף = 8 + 14 + 8 + 10 = 40.
40. 26 — לפי פיתגורס: c² = a² + b² = 100+576 = 676. c = √676 = 26 ס"מ.
41. 240 ס״מ² — שטח מקורי = 60 ס״מ². שטח חדש = (10×2) × (6×2) = 20 × 12 = 240 ס״מ². כשמכפילים שתי הצלעות פי 2, השטח גדל פי 4.
42. 8 ס״מ — אלכסון = a√2 → a = 8√2 ÷ √2 = 8 ס״מ
43. 2*m+2 — עלות = מחיר × כמות + תשלום קבוע ⇒ 2*m+2.
44. 15 — (a^m)^n = a^(m·n) = 4^(3·5) = 4^15.
45. 2k+5 — מכנסים איברים דומים: 1k+1k=(1+1)k=2k+5.
46. 13 — לפי פיתגורס: c² = a² + b² = 25+144 = 169. c = √169 = 13 ס"מ.
47. 4(x + 2y) — הגורם המשותף הגדול הוא 4: 4x + 8y = 4(x + 2y).
48. 64 ס״מ³ — נפח קוביה: צלע³ = 4³ = 64 ס״מ³.
49. 148 — 148°.
50. קהה — זווית חדה: קטנה מ-90°. ישרה: 90°. קהה: בין 90° ל-180°. שטוחה: 180°. 176° → קהה.