סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 22 — מתחלקים ב-6: ⌊200÷6⌋ = 33. מתחלקים גם ב-18 (= מ.מ.כ.(6,9)): ⌊200÷18⌋ = 11. מתחלקים ב-6 אך לא ב-9: 33 − 11 = 22.
2. מחיר מקורי 150 ₪, חסכת 90 ₪ — הנחה 40% → הלקוח שילם 60% מהמחיר המקורי. נסמן מחיר מקורי = x: 0.60 × x = 60 → x = 60 ÷ 0.60 = 150 ₪. חיסכון: 150 − 60 = 90 ₪.
3. 28 — סכום 6 המספרים = 6 × 14 = 84. סכום 7 המספרים = 7 × 16 = 112. המספר השביעי = 112 − 84 = 28.
4. 12x⁵ − 4x³ — 3x² · 4x³ = 12x⁵. (2x)⁵ = 32x⁵. 32x⁵ ÷ 8x² = 4x³. לכן: 12x⁵ − 4x³.
5. כן — 2·2+3=7. הנקודה מקיימת.
6. 5 — 1/x + 1/y = 1/4 ⟺ 4y + 4x = xy ⟺ (x − 4)(y − 4) = 16. מספר זוגות סדורים = מספר מחלקי 16 = 5: 1×16, 2×8, 4×4, 8×2, 16×1.
7. 88 — סכום 5 ציונים: 5 × 84 = 420. סכום 4 הציונים הנותרים: 420 − 68 = 352. ממוצע חדש: 352 ÷ 4 = 88.
8. 5 — 3^2+4^2=25, √25=5.
9. 24 — סך חלקים=8. חלק=64/8=8. קטן=3·8=24.
10. 0.7 — P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.3+0.5-0.1=0.7.
11. 126 — מ.מ.כ. × מ.מ.ג. = מכפלת שני המספרים. 252 × 42 = 84 × b → 10584 = 84b → b = 126. בדיקה: 84 = 2² × 3 × 7, 126 = 2 × 3² × 7. מ.מ.ג. = 2 × 3 × 7 = 42. מ.מ.כ. = 2² × 3² × 7 = 252. נכון.
12. 49 סמ"ר — שטח ריבוע = צלע² = 7² = 49
13. 9 — 72/8=9.
14. 108 — 2³ = 8, 3² = 9. 2³ × 3² = 8 × 9 = 72. חלוקה בשבר = כפל בהפוך: 72 ÷ (2/3) = 72 × (3/2) = 216/2 = 108.
15. חיתוך (3,4); שטח = 12 יח״ר — חיתוך: 2x−2 = −x+7 → 3x = 9 → x = 3, y = 4. נקודה (3,4). חיתוך f עם ציר x: 2x−2=0 → x=1. חיתוך g עם ציר x: −x+7=0 → x=7. בסיס המשולש על ציר x: 7−1 = 6. גובה המשולש = y-קואורדינטת נקודת החיתוך = 4. שטח = ½×6×4 = 12 יח״ר.
16. 30° — סכום זוויות משולש = 180°. נסמן הזוויות: x, 2x, 3x. x + 2x + 3x = 180° → 6x = 180° → x = 30°. הזווית הקטנה = 30°.
17. 120 — בוחרים בן אחד מ-12: 12 דרכים. בוחרים בת אחת מ-10: 10 דרכים. לפי כלל המכפלה: 12 × 10 = 120 ועדות.
18. 1/3 — 1 ו-2: 2/6=1/3.
19. $\dfrac{3}{5}$ — כופלים מונה במונה ומכנה במכנה: $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{2 \times 9}{3 \times 10} = \dfrac{18}{30}$. מצמצמים ב-6: $\dfrac{18 \div 6}{30 \div 6} = \dfrac{3}{5}$.
20. x = 4 — 3x − 6 + 2x = 14. 5x − 6 = 14. 5x = 20 → x = 4.
21. x=9 — x/3 = 3, ולכן x = 9
22. 32 — שטח טרפז = (6+10)/2 × 4 = 8 × 4 = 32. (נוסחת טרפז + חיבור + כפל)
23. שטח = 84 סמ״ר; היקף = 42 ס״מ — שטח מקבילית = בסיס × גובה = 12 × 7 = 84 סמ״ר. היקף: 2 × (בסיס + צלע צדדית) = 2 × (12 + 9) = 2 × 21 = 42 ס״מ.
24. 100 סמ״ר — אם הצלעות הן a ו-b אז 2(a + b) = 40, כלומר a + b = 20. השטח a · b מקסימלי כאשר a = b = 10 (ריבוע). שטח מקסימלי: 10 · 10 = 100.
25. 81 ש״ח — שלב 1: אחרי הנחה 25%: 120×0.75=90 ש״ח. שלב 2: אחרי עוד 10%: 90×0.90=81 ש״ח.
26. 3^8 — בחזקה של חזקה - מכפילים מעריכים: 2·4=8.
27. x=7 — חלק ב-3: x=21/3=7.
28. x≥6 — 2x≥12, ולכן x≥6.
29. 3x+12 — חוק הפילוג: 3·x + 3·4 = 3x+12.
30. y = 7 — שלב 1 — השווה: 2x + 3 = −x + 9 שלב 2 — 3x = 6 → x = 2. שלב 3 — הצב ב-f: y = 2·2 + 3 = 7.
31. x=3 — מקביל לציר y - x קבוע. עובר ב-x=3.
32. 1/2 — מאורעות אפשריים: 1,2,3,4,5,6 (סה״כ 6). מספרים זוגיים: 2,4,6 (סה״כ 3). הסתברות = 3/6 = 1/2.
33. 6 מ׳ — בשימוש ביחס דמיון: גובה המוט / צל המוט = גובה העץ / צל העץ. 2/6 = h/18 → h = 2×18/6 = 36/6 = 6 מ׳.
34. 210.60 ₪ — הנחה 25%: 240 × 0.75 = 180 ₪. תוספת מע״מ 17%: 180 × 1.17 = 210.6 ₪.
35. a^6 — בסוגריים a^(4-1)=a^3, ובחזקת 2: a^(3·2)=a^6.
36. x=3 — 15=5x, ולכן x=3.
37. 15 — שלב 1 — סך החלקים: 3 + 5 = 8. שלב 2 — ערך חלק יחיד: 40 ÷ 8 = 5. שלב 3 — מספר הבנים: 3 × 5 = 15.
38. 15 — קצב יחד: 1/6 עבודה לשעה. קצב א׳: 1/10 עבודה לשעה. קצב ב׳: 1/6 − 1/10 = 5/30 − 3/30 = 2/30 = 1/15. פועל ב׳ לבדו: 15 שעות.
39. 70° כל אחת — 180-40=140 לשתי זוויות הבסיס. כל אחת: 140/2=70. (סכום זוויות + משולש שווה-שוקיים + חלוקה)
40. 6 — P=2(a+b), 30=2(9+b), b=6.