סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 136 מ״ר — שטח הגינה (פנימי): 18 × 12 = 216 מ״ר. מידות המלבן החיצוני (כולל שביל): (18 + 4) × (12 + 4) = 22 × 16 = 352 מ״ר. שטח השביל = 352 − 216 = 136 מ״ר.
2. 36 סמ — לפי משפט פיתגורס: יתר² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. יתר = √225 = 15 סמ. היקף = 9 + 12 + 15 = 36 סמ.
3. 11 — שיפוע: m = (7 − 1) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. משוואה: y − 1 = 2(x − 1) → y = 2x − 1. ב-x = 6: y = 2(6) − 1 = 12 − 1 = 11.
4. x = −1.5 — חיתוך עם ציר x קורה כש-y = 0: 0 = 2x + 3 2x = −3 x = −1.5.
5. 1/6 — סה״כ תוצאות = 36. סכום 10: (4,6),(5,5),(6,4) = 3 זוגות. סכום 11: (5,6),(6,5) = 2 זוגות. סכום 12: (6,6) = 1 זוג. סה״כ = 6. הסתברות = 6/36 = 1/6.
6. 15 — קצב יחד: 1/6 עבודה לשעה. קצב א׳: 1/10 עבודה לשעה. קצב ב׳: 1/6 − 1/10 = 5/30 − 3/30 = 2/30 = 1/15. פועל ב׳ לבדו: 15 שעות.
7. 2 כוסות; 54 ₪ — נקודת איזון: 3x − 6 = 0 → 3x = 6 → x = 2. רווח אחרי 20 כוסות: y = 3×20 − 6 = 60 − 6 = 54 ₪.
8. 11 — שיפוע: m = (7 − 3) ÷ (4 − 2) = 4 ÷ 2 = 2. משוואת הישר: y = 2x + b. נציב (2, 3): 3 = 2×2 + b → b = 3 − 4 = −1. אז y = 2x − 1. f(6) = 2×6 − 1 = 12 − 1 = 11.
9. שטח 25, היקף 20 — שטח = 5×5 = 25 סמ"ר. היקף = 4×5 = 20 ס"מ. (גיאומטריה וכפל)
10. 20 — מחיר עפרון: 12/3=4. 5·4=20.
11. 95° — בטרפז, זוויות חד-צדדיות (co-interior angles) סוכמות 180°. B + C = 180° → 85° + C = 180° → C = 95°.
12. 2³ × 2⁴ = 128; (2²)³ = 64; הראשון גדול ב-64 — 2³ × 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷ = 128. (2²)³ = 2^(2×3) = 2⁶ = 64. 128 − 64 = 64. הביטוי הראשון גדול ב-64.
13. a^6 — בסוגריים a^(4-1)=a^3, ובחזקת 2: a^(3·2)=a^6.
14. 68 ש"ח — 15% מתוך 80 = 12. מחיר אחרי הנחה: 80-12=68
15. 60 סמ״ר — הגובה לבסיס חוצה אותו לשני חצאים בני 5 סמ. h² + 5² = 13² → h² = 144 → h = 12. S = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר.
16. 15 מ׳ — שלב 1 — זהה את המשולש ישר-הזווית: ניצבים 9 ו-12 מ׳, היתר הוא הכבל. שלב 2 — פיתגורס: כבל² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. שלב 3 — כבל = √225 = 15 מ׳.
17. 5 — שלב 1: חלק=27÷9=3. בנים=5×3=15. שלב 2: ⅓×15=5 בנים.
18. x=5 — x-2=3, ולכן x=5.
19. x=±9 — ערך מוחלט 9 מתקבל גם מ-9 וגם מ--9.
20. 36 — וֶתֶר² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. וֶתֶר = √225 = 15. היקף = 9 + 12 + 15 = 36.
21. 60 ש"ח — ספר: 120/3=40, יתרה 80. מתנה: 25% מ-80 = 20. נשאר: 80-20=60. (שברים + אחוזים + חיסור)
22. 26 מ׳ — יחס הרגליים 5:12, רגל קצרה = 10 מ׳. k = 10 ÷ 5 = 2. רגל ארוכה = 12 × 2 = 24 מ׳. וֶתֶר: c² = 10² + 24² = 100 + 576 = 676 → c = 26 מ׳.
23. 3x+10 — איברי x: 5x-2x=3x. מספרים: 3+7=10.
24. 1:3 — גובה המשולש: h² + 3² = 5² → h² = 25 − 9 = 16 → h = 4 סמ. שטח משולש: ½ × 6 × 4 = 12 סמ״ר. שטח ריבוע (צלע = 6): 6² = 36 סמ״ר. יחס: 12 : 36 = 1 : 3.
25. 95.04 סמ״ר — AMND: AM = 6 סמ (מחצית AB), AD = 12 סמ (צלע הריבוע). שטח מקורי: 6 × 12 = 72 סמ״ר. לאחר הגדלה: אורך × 1.2 = 12 × 1.2 = 14.4 סמ, רוחב × 1.1 = 6 × 1.1 = 6.6 סמ. שטח חדש: 14.4 × 6.6 = 95.04 סמ״ר.
26. (0,5) — ב-x=0: y=5.
27. 9 — 72/8=9.
28. x = 5 — פתח סוגריים: 6x + 3 − 2x + 6 = 29. אסוף איברים דומים: (6x − 2x) + (3 + 6) = 29 4x + 9 = 29 4x = 20 → x = 5.
29. ירד 9% — נניח מחיר מקורי 100 ₪. לאחר ירידה 30%: 100 × 0.7 = 70 ₪. לאחר עלייה 30%: 70 × 1.3 = 91 ₪. שינוי: (91 − 100) ÷ 100 = −9% → ירד 9%.
30. 12x⁵ − 4x³ — 3x² · 4x³ = 12x⁵. (2x)⁵ = 32x⁵. 32x⁵ ÷ 8x² = 4x³. לכן: 12x⁵ − 4x³.
31. 144 ש"ח — אחרי 20%: 200×0.8=160. אחרי עוד 10%: 160×0.9=144. (אחוזים רצופים + כפל)
32. 50 מ׳ — היחס בין גובה למרחק הוא 3:4, והמרחק הוא 40 מ׳. גובה = (3/4) × 40 = 30 מ׳. קו לפסגה (וֶתֶר): √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 מ׳.
33. 3 שעות ו-26 דקות — ברז A ממלא ⅙ לשעה; ברז B ממלא ⅛ לשעה. יחד: ⅙ + ⅛ = 4/24 + 3/24 = 7/24 לשעה. זמן מילוי: 1 ÷ (7/24) = 24/7 ≈ 3.43 שעות. 0.43 × 60 ≈ 26 דקות. סה״כ: כ-3 שעות ו-26 דקות.
34. 5,670 ₪ — לאחר ההעלאה הראשונה: 5000 × 1.08 = 5400. לאחר ההעלאה השנייה: 5400 × 1.05 = 5670 ₪.
35. 6 — פרופ' הפוכה: 4·9=36. 36/6=6.
36. 4 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 4 = 0 → x = 2. נקודה A(2, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −4. נקודה B(0, −4). רגל₁ = 2, רגל₂ = 4. שטח = ½ × 2 × 4 = 4 יחידות².
37. 30 — שלב 1 — נסמן את המספרים: x, x+2, x+4. שלב 2 — משוואה: 3x + 6 = 84, ולכן 3x = 78, ו-x = 26. שלב 3 — המספרים: 26, 28, 30. הגדול הוא 30.
38. (3,0) — ב-y=0: 2x-6=0, x=3.
39. היקף 48 מ׳, שטח 135 מ״ר — היקף מלבן = 2 × (אורך + רוחב) = 2 × (15 + 9) = 2 × 24 = 48 מ׳. שטח מלבן = אורך × רוחב = 15 × 9 = 135 מ״ר.
40. 2/5 — 4/10 = 2/5.