סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 6 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 3x − 6 = 0 → x = 2. נקודה A(2, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −6. נקודה B(0, −6). רגל₁ = 2 (לאורך ציר x), רגל₂ = 6 (לאורך ציר y). שטח = ½ × 2 × 6 = 6 יחידות².
2. 5/7 — P(אף לא אחד אדום) = P(שניהם כחולים). שליפה ראשונה כחולה: 4/7. שליפה שנייה כחולה (נשארו 3 כחולים מתוך 6): 3/6 = 1/2. P(שניהם כחולים) = 4/7 × 1/2 = 4/14 = 2/7. P(לפחות אחד אדום) = 1 − 2/7 = 5/7.
3. 50.24 — S=πr^2=3.14·16=50.24.
4. 15 ₪ — שלב 1 — מחיר המבצע הוא 90 ₪ (לא צריך לחזור למחיר המקורי לחישוב הרווח). שלב 2 — אם 90 = עלות × 1.20, אזי עלות = 90 ÷ 1.20 = 75 ₪. שלב 3 — רווח: 90 − 75 = 15 ₪.
5. −21 — סדר פעולות: −12 + (−9) = −21. (מספרים שליליים וסדר פעולות)
6. 15 — שלב 1: 40% מ-30 = 0.4×30 = 12 בנות. שלב 2: 12+3 = 15 בנות.
7. 40 — S=בסיס·גובה=8·5=40.
8. P(לפחות אחד) = 7/8; P(מתמטיקה בלבד) = 1/4 — לפי עקרון הכלה-הוצאה: |מת׳ ∪ מד׳| = 20+25−10 = 35. P(לפחות אחד) = 35/40 = 7/8. מתמטיקה בלבד (לא מדעים): 20−10 = 10. P = 10/40 = 1/4.
9. 144 סמ״ר — צלע = היקף ÷ 4 = 48 ÷ 4 = 12 סמ. שטח ריבוע = צלע² = 12² = 144 סמ״ר.
10. 1 — x + y = xy ⟺ xy − x − y = 0 ⟺ (x − 1)(y − 1) = 1. במספרים שלמים חיוביים: x − 1 = 1, y − 1 = 1, ולכן x = y = 2. רק זוג אחד.
11. 2 שעות — קצב A = 1/6 לשעה, קצב B = 1/3 לשעה. קצב משולב = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 לשעה. זמן = 1 ÷ (1/2) = 2 שעות.
12. 39% — שטח טרפז: S = ½ × (a + b) × h = ½ × (8 + 14) × 6 = ½ × 22 × 6 = 66 מ״ר. שטח גינה ירוקה: 66 − 40 = 26 מ״ר. אחוז ירוק: 26 ÷ 66 × 100 ≈ 39.4% ≈ 39%.
13. חברה A עדיפה ב-7 ₪ — חברה A: 5×5 + 2×1 = 25 + 2 = 27 ₪. חברה B: 3×5 + 5×1 = 15 + 5 = 20 ₪. הפרש: 27 − 20 = 7 ₪ לטובת חברה A.
14. x<7 — חסר 3: x<7.
15. 15 — קצב יחד: 1/6 עבודה לשעה. קצב א׳: 1/10 עבודה לשעה. קצב ב׳: 1/6 − 1/10 = 5/30 − 3/30 = 2/30 = 1/15. פועל ב׳ לבדו: 15 שעות.
16. 240 סמ״ר — הגובה מחצה את הבסיס → חצי בסיס = 10 סמ. פיתגורס: h² + 10² = 26² → h² = 676 − 100 = 576 → h = 24 סמ. שטח = ½ × 20 × 24 = 240 סמ״ר.
17. x=40, גדולה 75° — שלב 1: x+(2x−15)+75=180 ← 3x+60=180 ← 3x=120 ← x=40°. שלב 2: הזוויות: 40°, 65°, 75°. הגדולה=75°.
18. 75 — 0.15x = 45 → x = 45 ÷ 0.15 = 300. 25% מ-300 = 0.25 × 300 = 75.
19. 6 — P=2(a+b), 30=2(9+b), b=6.
20. 36 מ״ר — שטח טרפז: ½ × (12 + 8) × 9 = ½ × 20 × 9 = 90 מ״ר. שטח בנייה: 0.40 × 90 = 36 מ״ר.
21. 49 סמ"ר — שטח ריבוע = צלע² = 7² = 49
22. 12.5 — חיתוך עם ציר x: 0 = −x + 5 → x = 5. חיתוך עם ציר y: y = 5. המשולש בעל ניצבים 5 ו-5 על הצירים. S = ½ × 5 × 5 = 12.5.
23. 3 — 3 מופיע 3 פעמים - הכי הרבה.
24. כי n² + n = n(n + 1), ומכפלת שני מספרים עוקבים תמיד זוגית — n² + n = n(n + 1). מבין שני מספרים עוקבים, אחד בהכרח זוגי, ולכן המכפלה זוגית.
25. 5 — 3^2+4^2=25, √25=5.
26. 60 — ספרת המאות: 5 אפשרויות. ספרת העשרות: 4. ספרת האחדות: 3. סה״כ: 5 · 4 · 3 = 60.
27. גבוה ב-3.5% — נניח מחיר מקורי 100 ₪. לאחר עלייה של 15%: 100 × 1.15 = 115 ₪. לאחר ירידה של 10%: 115 × 0.9 = 103.5 ₪. שינוי: 103.5 − 100 = +3.5 ₪ → עלייה של 3.5% מהמחיר המקורי.
28. 95 — סכום 4 ציונים: 4 × 85 = 340. סכום נדרש ל-5 ציונים עם ממוצע 87: 5 × 87 = 435. ציון חמישי: 435 − 340 = 95.
29. 110°, שלושים אחוז הם 33° — שלב 1: x+(x+40)=180 ← 2x=140 ← x=70°. הגדולה=70+40=110°. שלב 2: 30%×110=0.3×110=33°.
30. 1/3 — 1 ו-2: 2/6=1/3.
31. (0,5) — ב-x=0: y=5.
32. ירד 4% — נניח מחיר מקורי 100 ₪. לאחר עלייה 20%: 100 × 1.2 = 120 ₪. לאחר ירידה 20%: 120 × 0.8 = 96 ₪. שינוי: (96 − 100) ÷ 100 = −4% → ירד 4%.
33. x=3 — 0=4x-12, 4x=12, x=3.
34. ₪80 — 1.2 × x = 96 ⇒ x = 96 ÷ 1.2 = 80. (אחוזים ומשוואה)
35. 30 מ׳ — נמצא את יתר (צלע שלישית) בעזרת פיתגורס: c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 c = √169 = 13 מ׳. היקף: 5 + 12 + 13 = 30 מ׳.
36. −68 — (−2)³ = −8. 3² = 9. (−1)⁵ = −1. (−8) × 9 − (−1) × 4 = −72 − (−4) = −72 + 4 = −68.
37. -24 — שלושה מינוסים נותנים תוצאה שלילית: 3·4·2=24, ולכן -24.
38. 89, שארית 8 — שלב 1 — המספר: 7 × 12 + 5 = 89. שלב 2 — חלוקת 89 ב-9: 9 × 9 = 81, 89 − 81 = 8. שלב 3 — לכן המנה היא 9 והשארית 8.
39. 50 סמ״ר — הצב קואורדינטות: A=(0,10), B=(10,10), C=(10,0), D=(0,0). E = נקודת אמצע BC = ((10+10)/2, (10+0)/2) = (10, 5). שטח משולש AED (A=(0,10), E=(10,5), D=(0,0)): S = ½ |x_A(y_E − y_D) + x_E(y_D − y_A) + x_D(y_A − y_E)| = ½ |0(5−0) + 10(0−10) + 0(10−5)| = ½ |0 − 100 + 0| = ½ × 100 = 50 סמ״ר.
40. ירד ב-4% — נסמן את המחיר ההתחלתי 100. אחרי עלייה: 100 × 1.20 = 120. אחרי ירידה: 120 × 0.80 = 96. שינוי: 96 − 100 = −4, כלומר ירידה של 4%.