סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 4 — בצורה y=mx+b, m הוא השיפוע - כאן 4.
2. y=3x-4 — y=mx+b עם m=3 ו-b=-4.
3. 110 שניות — היקף גלגל: C = 2π × 14 = 2 × (22/7) × 14 = 2 × 22 × 2 = 88 סמ. מרחק ל-5 סיבובים: 5 × 88 = 440 סמ. זמן: 440 ÷ 4 = 110 שניות.
4. 38 ס״מ — שלב 1 — חישוב הרוחב: 84 ÷ 12 = 7 ס״מ. שלב 2 — היקף: 2 × (12 + 7) = 2 × 19 = 38 ס״מ.
5. 34 ס״מ — שלב 1 — נוסחת היקף מלבן: 2 × (אורך + רוחב). שלב 2 — הצבה: 2 × (12 + 5) = 2 × 17 = 34 ס״מ.
6. 3/4 — לאחר שליפת אדום נשארו 4 כדורים: 1 אדום ו-3 כחולים. P(כחול | אדום ראשון) = 3/4.
7. 100 ש"ח — מחיר התחלתי x. אחרי עלייה: 1.2x. אחרי ירידה: 1.2x × 0.8 = 0.96x = 96, x=100. (אחוזים רצופים + משוואה)
8. ₪100 — 8 חלקים = 160 ⇒ חלק = 20. רון: 5 × 20 = 100. (יחס וחלוקה)
9. 3°C — שלב 1: בצהריים: −3+11=8°C. שלב 2: בערב: 8−5=3°C.
10. 5 — לומדים לפחות אחת: 18 + 15 − 8 = 25 (עיקרון ההכלה וההפרדה). לא לומדים: 30 − 25 = 5. (תורת הקבוצות וחיסור)
11. 17 — שיפוע: m = (11 − 3) ÷ (4 − 0) = 8 ÷ 4 = 2. חיתוך ציר y: b = 3 (מהנקודה (0, 3)). משוואה: y = 2x + 3. ב-x = 7: y = 2(7) + 3 = 17.
12. 3 שעות — קצב א׳: 1/4 עבודה לשעה. קצב ב׳: 1/12 עבודה לשעה. קצב יחד: 1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3. זמן יחד: 1 ÷ (1/3) = 3 שעות.
13. 5/12 — אדומים: 24/3=8. כחולים: 24/4=6. ירוקים: 24-8-6=10. הסתברות: 10/24=5/12. (שברים + חיסור + הסתברות)
14. 1/221 — P(מלך ראשון) = 4/52. לאחר שליפת מלך נשארו 51 קלפים ו-3 מלכים → P(מלך שני | ראשון מלך) = 3/51. P(שניהם מלכים) = (4/52) × (3/51) = 12 / 2652 = 1/221.
15. 95° — בטרפז, זוויות חד-צדדיות (co-interior angles) סוכמות 180°. B + C = 180° → 85° + C = 180° → C = 95°.
16. 126 — מ.מ.כ. × מ.מ.ג. = מכפלת שני המספרים. 252 × 42 = 84 × b → 10584 = 84b → b = 126. בדיקה: 84 = 2² × 3 × 7, 126 = 2 × 3² × 7. מ.מ.ג. = 2 × 3 × 7 = 42. מ.מ.כ. = 2² × 3² × 7 = 252. נכון.
17. −1 — הצבה: 11 = 2a + 3 → a = 4. f(x) = 4x + 3. f(−1) = 4·(−1) + 3 = −1.
18. x = 4 — 3x − 6 + 2x = 14. 5x − 6 = 14. 5x = 20 → x = 4.
19. 70° — פנימית+חיצונית=180. 180-110=70.
20. 120 ₪ — הגובה חוצה את הבסיס → חצי בסיס = 5 סמ. פיתגורס: h² + 5² = 13² → h² = 169 − 25 = 144 → h = 12 סמ. שטח = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר. עלות צביעה = 60 × 2 = 120 ₪.
21. 29 ש"ח — שלב 1 — פונקציה: y = 3x + 5. שלב 2 — עבור x=8: y = 3·8 + 5 = 24 + 5 = 29 ש"ח.
22. x = −1.5 — חיתוך עם ציר x קורה כש-y = 0: 0 = 2x + 3 2x = −3 x = −1.5.
23. 7/10 — סה״כ כדורים: 3 + 4 + 3 = 10. כדורים שאינם ירוקים: 3 + 4 = 7. סיכוי: 7/10.
24. x=5, y=10; כן, (3,4) על הגרף — חיתוך עם ציר x: y=0 → −2x+10=0 → x=5, נקודה (5,0). חיתוך עם ציר y: x=0 → y=10, נקודה (0,10). בדיקת (3,4): y=−2×3+10=−6+10=4. אכן 4=4, לכן הנקודה על הגרף.
25. 70° — סכום = 180°: (x+30) + (2x+10) + (3x−40) = 180 → 6x = 180 → x = 30. A = 60°, B = 70°, C = 50°. הגדולה ביותר: B = 70°.
26. 6 — קצב מילוי א׳: 1/3 בריכה לשעה. קצב ריקון ב׳: 1/6 בריכה לשעה. קצב נטו: 1/3 − 1/6 = 2/6 − 1/6 = 1/6 בריכה לשעה. זמן מילוי: 6 שעות.
27. −21 — סדר פעולות: −12 + (−9) = −21. (מספרים שליליים וסדר פעולות)
28. 18 — שלב א׳ — כמה עברו: ¾ × 120 = 90 תלמידים. שלב ב׳ — כמה קיבלו מעולה: ⅕ × 90 = 18 תלמידים.
29. 2/15 — סיכוי לאדום ראשון: 4/10 = 2/5. נשארו 9 כדורים, 3 אדומים. סיכוי לאדום שני: 3/9 = 1/3. סיכוי כולל: (2/5) × (1/3) = 2/15.
30. 10 ברונזה; 270 נקודות — זהב: ⅓×24 = 8. כסף: ¼×24 = 6. ברונזה: 24−8−6 = 10. נקודות: 8×20 + 6×10 + 10×5 = 160 + 60 + 50 = 270.
31. 24 — נסמן x-1, x, x+1. סכומם: 3x=72, x=24
32. −67 — (−3)² = 9. (−2)³ = −8. (−1)⁴ = 1. 9 × (−8) + 1 × 5 = −72 + 5 = −67.
33. 6 מ׳ — בשימוש ביחס דמיון: גובה המוט / צל המוט = גובה העץ / צל העץ. 2/6 = h/18 → h = 2×18/6 = 36/6 = 6 מ׳.
34. 144 סמ״ר — צלע = היקף ÷ 4 = 48 ÷ 4 = 12 סמ. שטח ריבוע = צלע² = 12² = 144 סמ״ר.
35. 31.4 — P=2πr=2·3.14·5=31.4.
36. 60 — ספרת המאות: 5 אפשרויות. ספרת העשרות: 4. ספרת האחדות: 3. סה״כ: 5 · 4 · 3 = 60.
37. 24 ס״מ — שלב 1: פיתגורס: יתר² = 6²+8² = 36+64 = 100 ← יתר=10 ס״מ. שלב 2: היקף = 6+8+10 = 24 ס״מ.
38. 20 — שלב 1 — מספר הבנים: (3/8) × 32 = 12. שלב 2 — מספר הבנות: 32 − 12 = 20.
39. חיתוך (3,4); שטח = 12 יח״ר — חיתוך: 2x−2 = −x+7 → 3x = 9 → x = 3, y = 4. נקודה (3,4). חיתוך f עם ציר x: 2x−2=0 → x=1. חיתוך g עם ציר x: −x+7=0 → x=7. בסיס המשולש על ציר x: 7−1 = 6. גובה המשולש = y-קואורדינטת נקודת החיתוך = 4. שטח = ½×6×4 = 12 יח״ר.
40. 169 סמ"ר — שלב 1 — פיתגורס: יתר² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. שלב 2 — שטח הריבוע על היתר = יתר² = 169 סמ"ר. (אין צורך לחשב √169 — שטח הריבוע שווה לריבוע היתר!)