סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 1 — x + y = xy ⟺ xy − x − y = 0 ⟺ (x − 1)(y − 1) = 1. במספרים שלמים חיוביים: x − 1 = 1, y − 1 = 1, ולכן x = y = 2. רק זוג אחד.
2. 4 — |3-10|=7, |2-5|=3, ולכן 7-3=4.
3. 936 ₪ — סופי = 800 × (1 + 0.17) = 800 × 1.17 = 936 ₪.
4. -6x+10 — -2·3x=-6x, -2·(-5)=+10.
5. 2,808 ₪ — וֶתֶר: c² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 → c = 17 מ׳. היקף: 8 + 15 + 17 = 40 מ׳. עלות לפני מע״מ: 40 × 60 = 2,400 ₪. כולל 17% מע״מ: 2,400 × 1.17 = 2,808 ₪.
6. 1/6 — מספרים אי-זוגיים: 1, 3, 5. מספרים גדולים מ-4: 5, 6. החיתוך: רק 5. P = 1/6.
7. 0 — ממוצע: (70 + 82 + 95 + 61 + 77) ÷ 5 = 385 ÷ 5 = 77. סדר עולה: 61, 70, 77, 82, 95. חציון (אמצעי = מיקום 3): 77. הפרש: 77 − 77 = 0.
8. 3x+10 — איברי x: 5x-2x=3x. מספרים: 3+7=10.
9. 36 סמ — לפי משפט פיתגורס: יתר² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. יתר = √225 = 15 סמ. היקף = 9 + 12 + 15 = 36 סמ.
10. x=7 — 6x-2=4x+12, 2x=14, x=7.
11. 96 — 100·1.2=120. 120·0.8=96.
12. x<7 — חסר 3: x<7.
13. 32 — S=(a+b)·h/2=(6+10)·4/2=32.
14. 3 שנים — ריבית שנתית: 6% × 5,000 = 0.06 × 5,000 = 300 ₪ לשנה. נדרש רווח: 5,900 − 5,000 = 900 ₪. מספר שנים: 900 ÷ 300 = 3 שנים. בדיקה: 5,000 + 3 × 300 = 5,000 + 900 = 5,900 ₪ ✓
15. 1/4 — מספרים זוגיים בקוביה: 2, 4, 6 → הסתברות בהטלה אחת = 3/6 = 1/2. שתי הטלות בלתי-תלויות: P(שניהם זוגיים) = 1/2 × 1/2 = 1/4.
16. 5 — לומדים לפחות אחת: 18 + 15 − 8 = 25 (עיקרון ההכלה וההפרדה). לא לומדים: 30 − 25 = 5. (תורת הקבוצות וחיסור)
17. 16 — נסמן: דני = x, רנה = x + 2. x + (x + 2) = 34 2x + 2 = 34 2x = 32 x = 16. דני קנה 16 ספרים, רנה קנתה 18.
18. 7 — שלב א׳: (−3) × (−5) = 15 שלב ב׳: (−2) × 4 = −8 שלב ג׳: 15 + (−8) = 7.
19. -1 — (1-5)/(6-2) = -4/4 = -1.
20. 30% — רווח=60. 60/200=30%.
21. 2 שעות — מהירות התקרבות = 80+100 = 180 קמ"ש. זמן = 360/180 = 2 שעות. (תנועה + חיבור מהירויות + יחס)
22. 90 ש"ח — שלב 1 — הגדרת משתנה: תהי x = כסף לאיתי, אז לרן יש 3x. שלב 2 — משוואה: x + 3x = 480, ולכן 4x = 480, x = 120. שלב 3 — לרן יש 3 · 120 = 360 ש"ח. שלב 4 — 25% מ-360 = 0.25 · 360 = 90 ש"ח.
23. 36 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 12 = 0 → x = 6. נקודה A(6, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −12. נקודה B(0, −12). רגל₁ = 6 (לאורך ציר x), רגל₂ = 12 (לאורך ציר y). שטח = ½ × 6 × 12 = 36 יחידות².
24. 20 — שלב 1 — מספר הבנים: (3/8) × 32 = 12. שלב 2 — מספר הבנות: 32 − 12 = 20.
25. 39.2 מ״ר — שטח טרפז: ½ × (18 + 10) × 8 = ½ × 28 × 8 = 112 מ״ר. שטח גינה: 0.35 × 112 = 39.2 מ״ר.
26. 15 — עיקרון הכלה-הדחה: |ביולוגיה ∪ כימיה| = 60 + 50 − 25 = 85. לא לומדים אף אחד: 100 − 85 = 15.
27. 48 סמ — שטח ריבוע = צלע² → צלע = √144 = 12 סמ. היקף = 4 × 12 = 48 סמ.
28. 120 — בוחרים בן אחד מ-12: 12 דרכים. בוחרים בת אחת מ-10: 10 דרכים. לפי כלל המכפלה: 12 × 10 = 120 ועדות.
29. 77 — שטח עיגול=22/7·49=154. חצי=77.
30. 80 קמ״ש — שלב 1 — המר זמן לשעות: 2 שעות 15 דקות = 2.25 שעות. שלב 2 — מהירות = מרחק ÷ זמן = 180 ÷ 2.25 = 80 קמ״ש.
31. 4 — 7 ≡ 2 (mod 5). 7^50 ≡ 2^50 (mod 5). 2^4 = 16 ≡ 1 (mod 5). 2^50 = 2^(4·12 + 2) = (2^4)^12 · 2^2 ≡ 1 · 4 = 4.
32. אורך 15 מ׳, עלות 600 ₪ — פיתגורס: c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → c = 15 מ׳. עלות: 15 × 40 = 600 ₪.
33. 70° כל אחת — 180-40=140 לשתי זוויות הבסיס. כל אחת: 140/2=70. (סכום זוויות + משולש שווה-שוקיים + חלוקה)
34. 2/5 — 4/10 = 2/5.
35. −4 — x = 3 − 7 = −4. (משלב משוואות ומספרים שליליים)
36. 10 — מיץ מקורי: 0.25 × 40 = 10 ליטר. נסמן כמות מוספת x. (10 + x) ÷ (40 + x) = 0.4 → 10 + x = 16 + 0.4x → 0.6x = 6 → x = 10.
37. 40° — שתי זוויות הבסיס שוות (70°+70°=140°). זווית הראש = 180-140 = 40°
38. היקף 48 מ׳, שטח 135 מ״ר — היקף מלבן = 2 × (אורך + רוחב) = 2 × (15 + 9) = 2 × 24 = 48 מ׳. שטח מלבן = אורך × רוחב = 15 × 9 = 135 מ״ר.
39. −7 — שלב 1 — (−6) + (−4) = −10. שלב 2 — −(−3) = +3, לכן −10 + 3 = −7.
40. 4 שעות — מהירות = 180/3 = 60 קמ"ש. זמן = 240/60 = 4 שעות. (מהירות + יחס ישר)