סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 52 מ״ר — שטח המלבן: 8 × 5 = 40 מ״ר. שטח המשולש: ½ × 8 × 3 = 12 מ״ר. שטח כולל: 40 + 12 = 52 מ״ר.
2. 5/12 — אדומים: 24/3=8. כחולים: 24/4=6. ירוקים: 24-8-6=10. הסתברות: 10/24=5/12. (שברים + חיסור + הסתברות)
3. -6x+10 — -2·3x=-6x, -2·(-5)=+10.
4. גובה 20 מ׳ — מתאים: $15^2 + 20^2 = 25^2$ — גובה נקודת ההישענות: $\frac{4}{5} \times 25 = 20$ מ׳.\n\nבדיקת פיתגורס (ניצב $= 15$, ניצב $= 20$, יתר $= 25$):\n$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$ ✓\n\nהמסיחים האחרים אינם מקיימים את משפט פיתגורס:\n- גובה 18 מ׳: $15^2 + 18^2 = 225 + 324 = 549 \neq 625$\n- גובה 10 מ׳: $15^2 + 10^2 = 225 + 100 = 325 \neq 625$\n- גובה 15 מ׳: $15^2 + 15^2 = 225 + 225 = 450 \neq 625$\n\nרק גובה 20 מ׳ מקיים את פיתגורס ועקבי עם כל הנתונים.בדיקת פיתגורס (ניצב = 15, ניצב = 20, יתר = סולם = 25): 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25² ✓ הנתונים עקביים — הסולם (25 מ׳) הוא אכן היתר של המשולש הישר-זווית.
5. 1 — שיפוע: m = (9 − 3) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. נוסחה: y = 2x + b. הצב (1, 3): 3 = 2(1) + b → b = 1. הפונקציה: y = 2x + 1. כש-x = 0: y = 1.
6. 110 שניות — היקף גלגל: C = 2π × 14 = 2 × (22/7) × 14 = 2 × 22 × 2 = 88 סמ. מרחק ל-5 סיבובים: 5 × 88 = 440 סמ. זמן: 440 ÷ 4 = 110 שניות.
7. 20 — היקף הגינה: 2 × (18 + 12) = 2 × 30 = 60 מ׳. מספר מוטות: 60 ÷ 3 = 20 מוטות.
8. 180° — סכום זוויות הפנים במשולש תמיד 180°.
9. 77 — שלב 1 — סכום ציוני 25 תלמידים: 25 × 76 = 1900. שלב 2 — סכום חדש: 1900 + 100 = 2000. שלב 3 — מספר תלמידים חדש: 26. שלב 4 — ממוצע חדש: 2000 / 26 ≈ 76.92, מעוגל למספר שלם: 77.
10. 5,670 ₪ — לאחר ההעלאה הראשונה: 5000 × 1.08 = 5400. לאחר ההעלאה השנייה: 5400 × 1.05 = 5670 ₪.
11. 144 סמ״ר — צלע = היקף ÷ 4 = 48 ÷ 4 = 12 סמ. שטח ריבוע = צלע² = 12² = 144 סמ״ר.
12. a^6 — בסוגריים a^(4-1)=a^3, ובחזקת 2: a^(3·2)=a^6.
13. 60 — 120% = 1.2, ו-1.2×50 = 60
14. 29.44 מ״ר — שטח חדר L: 8×6 − 2×3 = 48 − 6 = 42 מ״ר. רדיוס שטיח: 4÷2 = 2 מ׳. שטח שטיח: π×r² = 3.14×4 = 12.56 מ״ר. שטח רצפה ללא שטיח: 42 − 12.56 = 29.44 מ״ר.
15. x = 5 — שלב 1 — הפחת 7 משני האגפים: 3x = 15. שלב 2 — חלק ב-3: x = 5.
16. 660 ₪ — שטח בסיס: 6² = 36 סמ״ר. שטח 4 קירות: 4 × (6 × 4) = 4 × 24 = 96 סמ״ר. שטח כולל: 36 + 96 = 132 סמ״ר. עלות: 132 × 5 = 660 ₪.
17. 3n — (n − 1) + n + (n + 1) = 3n, שמתחלק ב-3 לכל n שלם.
18. 5 — ממוצע של שני האמצעיים: (4+6)/2=5.
19. 60 ש"ח — ספר: 120/3=40, יתרה 80. מתנה: 25% מ-80 = 20. נשאר: 80-20=60. (שברים + אחוזים + חיסור)
20. −68 — (−2)³ = −8. 3² = 9. (−1)⁵ = −1. (−8) × 9 − (−1) × 4 = −72 − (−4) = −72 + 4 = −68.
21. 4x^2 — כל האיברים דומים (x^2): 3+2-1=4, ולכן 4x^2.
22. 2³ × 2⁴ = 128; (2²)³ = 64; הראשון גדול ב-64 — 2³ × 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷ = 128. (2²)³ = 2^(2×3) = 2⁶ = 64. 128 − 64 = 64. הביטוי הראשון גדול ב-64.
23. 2 שעות 24 דקות — קצב א׳: 1/4 בריכה לשעה. קצב ב׳: 1/6 בריכה לשעה. קצב יחד: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 בריכה לשעה. זמן: 1 ÷ (5/12) = 12/5 שעות = 2.4 שעות. 0.4 שעות = 0.4 × 60 = 24 דקות. סה״כ: 2 שעות ו-24 דקות.
24. 6.25 יחידות² — מציאת k: 11 = 2(3) + k → 11 = 6 + k → k = 5. הפונקציה: f(x) = 2x + 5. חיתוך ציר y (x = 0): y = 5. נקודה (0, 5). חיתוך ציר x (y = 0): 2x + 5 = 0 → x = −2.5. נקודה (−2.5, 0). שטח = ½ × |−2.5| × |5| = ½ × 2.5 × 5 = 6.25 יחידות².
25. 4.8 ס״מ — יתר: √(6²+8²) = √(36+64) = √100 = 10 ס״מ. גובה על היתר: h = (6×8)/10 = 48/10 = 4.8 ס״מ.
26. 6 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 3x − 6 = 0 → x = 2. נקודה A(2, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −6. נקודה B(0, −6). רגל₁ = 2 (לאורך ציר x), רגל₂ = 6 (לאורך ציר y). שטח = ½ × 2 × 6 = 6 יחידות².
27. ירידה של 10% — 100 × 1.20 = 120. 120 × 0.75 = 90. מ-100 ל-90 → ירידה של 10%.
28. שטח = 16, השיפוע שלילי — חיתוך עם ציר x: 0 = −2x + 8 → x = 4. חיתוך עם ציר y: f(0) = 8. המשולש ישר-זווית עם רגליים 4 ו-8 → שטח = ½ × 4 × 8 = 16. שיפוע הפונקציה הוא המקדם של x: −2 (שלילי, יורד).
29. 20 שנים — בעוד x שנים: 40+x = 2(10+x) ⇒ 40+x = 20+2x ⇒ x = 20. (משוואה ובעיה מילולית)
30. 39% — שטח טרפז: S = ½ × (a + b) × h = ½ × (8 + 14) × 6 = ½ × 22 × 6 = 66 מ״ר. שטח גינה ירוקה: 66 − 40 = 26 מ״ר. אחוז ירוק: 26 ÷ 66 × 100 ≈ 39.4% ≈ 39%.
31. 8 — נסמן גיל הבת כיום: x. גיל האמא: 3x. בעוד 8 שנים: 3x + 8 = 2(x + 8) → 3x + 8 = 2x + 16 → x = 8.
32. 15 ₪ — שלב 1 — מחיר המבצע הוא 90 ₪ (לא צריך לחזור למחיר המקורי לחישוב הרווח). שלב 2 — אם 90 = עלות × 1.20, אזי עלות = 90 ÷ 1.20 = 75 ₪. שלב 3 — רווח: 90 − 75 = 15 ₪.
33. 16 — נסמן: דני = x, רנה = x + 2. x + (x + 2) = 34 2x + 2 = 34 2x = 32 x = 16. דני קנה 16 ספרים, רנה קנתה 18.
34. 4 — 7 גדול מ-3 בערך מוחלט, הסימן חיובי: 7-3=4
35. 7-8 — 7^2=49, 8^2=64, ולכן √50 בין 7 ל-8.
36. 1 — x + y = xy ⟺ xy − x − y = 0 ⟺ (x − 1)(y − 1) = 1. במספרים שלמים חיוביים: x − 1 = 1, y − 1 = 1, ולכן x = y = 2. רק זוג אחד.
37. 24 — סך חלקים=8. חלק=64/8=8. קטן=3·8=24.
38. 24 ס״מ — מצא את יתר המשולש בעזרת משפט פיתגורס: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = 10 ס״מ. היקף = 6 + 8 + 10 = 24 ס״מ.
39. 4 — אם n זוגי, n² + 4 זוגי וגדול מ-2 → לא ראשוני. בודקים אי-זוגיים: n=1:5✓, n=3:13✓, n=5:29✓, n=7:53✓, n=9:85=5·17✗. סה״כ 4.
40. 100 ק״מ — חלק ברכב: ⅓ × 240 = 80 ק״מ. חלק באוטובוס: ¼ × 240 = 60 ק״מ. סה״כ שנעשה: 80 + 60 = 140 ק״מ. ברכבת: 240 − 140 = 100 ק״מ.