סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 130° — במשולש BIC: ∠IBC = B/2, ∠ICB = C/2. ∠BIC = 180° − (B + C)/2 = 180° − (180° − A)/2 = 90° + A/2 = 90° + 40° = 130°.
2. 50 סמ״ר — הצב קואורדינטות: A=(0,10), B=(10,10), C=(10,0), D=(0,0). E = נקודת אמצע BC = ((10+10)/2, (10+0)/2) = (10, 5). שטח משולש AED (A=(0,10), E=(10,5), D=(0,0)): S = ½ |x_A(y_E − y_D) + x_E(y_D − y_A) + x_D(y_A − y_E)| = ½ |0(5−0) + 10(0−10) + 0(10−5)| = ½ |0 − 100 + 0| = ½ × 100 = 50 סמ״ר.
3. x<7 — חסר 3: x<7.
4. 300 ק"מ — מהירות: 180÷3 = 60 קמ"ש. ב-5 שעות: 60×5 = 300 ק"מ. (יחס ומהירות)
5. (⅔, 0) — חיתוך ציר x: הצב y = 0: 0 = 3x − 2 → 3x = 2 → x = 2/3. נקודת החיתוך: (⅔, 0). לבדיקה — חיתוך ציר y (x=0): y = −2, כלומר (0, −2).
6. ₪100 — x × 0.8 × 1.25 = x × 1 = x. לכן x = 100. (אחוזים מורכבים)
7. 40 — S=בסיס·גובה=8·5=40.
8. 4 — 2³ = 8, 3² = 9, 1² = 1. 8 + 9 − 1 = 16. √16 = 4.
9. 5 — ממוצע של שני האמצעיים: (4+6)/2=5.
10. 50.24 — S=πr^2=3.14·16=50.24.
11. 11 — שיפוע: m = (7 − 1) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. משוואה: y − 1 = 2(x − 1) → y = 2x − 1. ב-x = 6: y = 2(6) − 1 = 12 − 1 = 11.
12. 5/12 — אדומים: 24/3=8. כחולים: 24/4=6. ירוקים: 24-8-6=10. הסתברות: 10/24=5/12. (שברים + חיסור + הסתברות)
13. 30 סמ"ר — שטח משולש = (בסיס×גובה)/2 = (10×6)/2 = 30
14. 4 — בצורה y=mx+b, m הוא השיפוע - כאן 4.
15. 128 — חוק כפל חזקות עם בסיס שווה: 2⁴ × 2³ = 2^(4+3) = 2⁷. 2⁷ = 128.
16. 2^2 — במונה: 2^(5+3)=2^8. בחילוק: 2^(8-6)=2^2.
17. ירד 1% — נניח מחיר מקורי 100 ₪. לאחר עלייה 10%: 100 × 1.1 = 110 ₪. לאחר ירידה 10%: 110 × 0.9 = 99 ₪. שינוי: (99 − 100) ÷ 100 = −1% → ירד 1%.
18. x=5 — x-2=3, ולכן x=5.
19. 126 — מ.מ.כ. × מ.מ.ג. = מכפלת שני המספרים. 252 × 42 = 84 × b → 10584 = 84b → b = 126. בדיקה: 84 = 2² × 3 × 7, 126 = 2 × 3² × 7. מ.מ.ג. = 2 × 3 × 7 = 42. מ.מ.כ. = 2² × 3² × 7 = 252. נכון.
20. 90 — סכום 5 ציונים: 5 × 78 = 390. סכום נדרש ל-6 ציונים (ממוצע 80): 6 × 80 = 480. ציון שישי: 480 − 390 = 90.
21. 180 — 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², 30 = 2 · 3 · 5. LCM = 2² · 3² · 5 = 4 · 9 · 5 = 180.
22. 1/6 — סה״כ תוצאות = 36. סכום 10: (4,6),(5,5),(6,4) = 3 זוגות. סכום 11: (5,6),(6,5) = 2 זוגות. סכום 12: (6,6) = 1 זוג. סה״כ = 6. הסתברות = 6/36 = 1/6.
23. 31.4 — P=2πr=2·3.14·5=31.4.
24. 2.5 — ממוצע: (68 + 72 + 80 + 85 + 85 + 90) ÷ 6 = 480 ÷ 6 = 80. סדר עולה: 68, 72, 80, 85, 85, 90. חציון = (80 + 85) ÷ 2 = 82.5. הפרש: 82.5 − 80 = 2.5.
25. 5 — 1/x + 1/y = 1/4 ⟺ 4y + 4x = xy ⟺ (x − 4)(y − 4) = 16. מספר זוגות סדורים = מספר מחלקי 16 = 5: 1×16, 2×8, 4×4, 8×2, 16×1.
26. 1620 ש"ח — אחרי עלייה: 1500×1.2=1800. אחרי ירידה: 1800×0.9=1620
27. 75 — 0.15x = 45 → x = 45 ÷ 0.15 = 300. 25% מ-300 = 0.25 × 300 = 75.
28. 3 — עיקרון הכלה-הדחה: |כדורגל ∪ כדורסל| = 18 + 15 − 6 = 27. לא שיחקו: 30 − 27 = 3.
29. 19 — 3x-6=2x+4, x=10. 2×10-1=19. (פתיחת סוגריים + משוואה + הצבה)
30. 1 — שיפוע: m = (9 − 3) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. נוסחה: y = 2x + b. הצב (1, 3): 3 = 2(1) + b → b = 1. הפונקציה: y = 2x + 1. כש-x = 0: y = 1.
31. x = 12 — 2x + 5 = 3x − 7. 5 + 7 = 3x − 2x. 12 = x.
32. 48 מ׳ — שלב 1 — סמן רוחב = x, אורך = 3x. שלב 2 — שטח: x · 3x = 3x² = 108. שלב 3 — x² = 36, x = 6. שלב 4 — אורך = 18, היקף = 2(6 + 18) = 48 מ׳.
33. 0.9 — 0.4+0.5=0.9.
34. שתי הפנימיות הלא צמודות — משפט הזווית החיצונית.
35. 160 ₪ — הנחה 25% → הלקוח שילם 75% מהמחיר המקורי. נסמן מחיר מקורי = x: 0.75x = 120 → x = 120 ÷ 0.75 = 160 ₪.
36. x=±7 — גם 7 וגם -7 בריבוע נותנים 49.
37. 30% — 18/60=0.3=30%.
38. $\dfrac{3}{5}$ — כופלים מונה במונה ומכנה במכנה: $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{2 \times 9}{3 \times 10} = \dfrac{18}{30}$. מצמצמים ב-6: $\dfrac{18 \div 6}{30 \div 6} = \dfrac{3}{5}$.
39. 60° — 180-50-70=60.
40. y=3x-4 — y=mx+b עם m=3 ו-b=-4.