סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 60 סמ״ר — שורטט גובה מהקודקוד אל הבסיס — הוא חוצה את הבסיס ל-5 ס״מ + 5 ס״מ. משפט פיתגורס על חצי המשולש: h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 → h = 12 ס״מ. שטח = ½ × בסיס × גובה = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר.
2. 12x⁵ − 4x³ — 3x² · 4x³ = 12x⁵. (2x)⁵ = 32x⁵. 32x⁵ ÷ 8x² = 4x³. לכן: 12x⁵ − 4x³.
3. 2x+6 — 5x-3x+6 = 2x+6.
4. 30° — סכום זוויות משולש = 180°. נסמן הזוויות: x, 2x, 3x. x + 2x + 3x = 180° → 6x = 180° → x = 30°. הזווית הקטנה = 30°.
5. 4/5 — סה״כ = 5 + 3 + 2 = 10. לא ירוקים = 5 + 3 = 8. הסתברות = 8/10 = 4/5.
6. 15 מ׳ — שלב 1 — זהה את המשולש ישר-הזווית: ניצבים 9 ו-12 מ׳, היתר הוא הכבל. שלב 2 — פיתגורס: כבל² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. שלב 3 — כבל = √225 = 15 מ׳.
7. 1 — אם x = 1: (2)(3)(4)(5) = 120. ✓
8. 105 סמ"ר — שטח: 12×7=84. גידול 25%: 84 × 1.25 = 105 סמ"ר. (גיאומטריה ואחוזים)
9. 0.7 — P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.3+0.5-0.1=0.7.
10. 4 — בצורה y=mx+b, m הוא השיפוע - כאן 4.
11. -1 — (1-5)/(6-2) = -4/4 = -1.
12. 19 — 3x-6=2x+4, x=10. 2×10-1=19. (פתיחת סוגריים + משוואה + הצבה)
13. 14 — שיפוע: m = (11 − 5) / (3 − 1) = 6/2 = 3. משוואת הישר: y = 3x + b. הצבה של (1, 5): 5 = 3(1) + b → b = 2. ולכן y = 3x + 2. עבור x = 4: y = 3(4) + 2 = 14.
14. 40 סמ"ר — רוחב=x, אורך=x+3. 2(2x+3)=26, 2x+3=13, x=5. אורך=8. שטח=5×8=40. (משוואה + היקף + שטח)
15. זווית C = 110°, ואינו ישר-זווית — שלב א׳ — זווית C: סכום זוויות משולש = 180°. C = 180° − 40° − 30° = 110°. שלב ב׳ — האם המשולש עם 5, 12, 13 ישר-זווית? בדיקה: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ✓ כן — אבל שים לב: זה משולש שונה מ-ABC! המשולש ABC (עם 40°, 30°, 110°) אינו ישר-זווית.
16. 0 — -8+3=-5, ואז -5-(-5)=0.
17. 10 — בנים: 60% מ-25 = 15. בנות: 25-15 = 10. (אחוזים + חיסור)
18. 55 סמ״ר — שטח טרפז = ½ × (סכום הבסיסים) × גובה. S = ½ × (14 + 8) × 5 = ½ × 22 × 5 = 55 סמ״ר.
19. 600 — שלב 1 — שטח הגן: 20 × 15 = 300 מ"ר. שלב 2 — מספר אריחים = שטח הגן / שטח אריח = 300 / 0.5 = 600.
20. 1 — ספרות האחדות של חזקות 7: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ... מחזור באורך 4. 100 ÷ 4 = 25 בדיוק (שארית 0), כלומר מתאים למקום הרביעי במחזור: 1.
21. 5x − 2 — איסוף איברים דומים: מקדמי x: 2 − 1 + 4 = 5. מספרים חופשיים: −5 + 3 = −2. תוצאה: 5x − 2.
22. 3 — עיקרון הכלה-הדחה: |כדורגל ∪ כדורסל| = 18 + 15 − 6 = 27. לא שיחקו: 30 − 27 = 3.
23. x>7 — חלק ב-2: x>7.
24. 3 — 3 מופיע 3 פעמים - הכי הרבה.
25. כן — 25+144=169=13^2, מקיים פיתגורס.
26. 50 סמ״ר — שלב 1: EB=10−6=4 ס״מ. שטח ריבוע=100 סמ״ר. שלב 2: שטח △ADE=½×AE×AD=½×6×10=30 סמ״ר. שטח △BCE=½×EB×BC=½×4×10=20 סמ״ר. שלב 3: שטח △CDE=100−30−20=50 סמ״ר.
27. 10 — 20% מ-500=100. 10% מ-100=10.
28. x > 2 — שלב 1 — רווח חיובי: 3x − 6 > 0. שלב 2 — 3x > 6. שלב 3 — x > 2. לכן נדרשים יותר מ-2 מוצרים כדי להרוויח.
29. 70° כל אחת — 180-40=140 לשתי זוויות הבסיס. כל אחת: 140/2=70. (סכום זוויות + משולש שווה-שוקיים + חלוקה)
30. 4 — פרופורציה הפוכה: 8·6=48. 48/12=4.
31. 29.44 מ״ר — שטח חדר L: 8×6 − 2×3 = 48 − 6 = 42 מ״ר. רדיוס שטיח: 4÷2 = 2 מ׳. שטח שטיח: π×r² = 3.14×4 = 12.56 מ״ר. שטח רצפה ללא שטיח: 42 − 12.56 = 29.44 מ״ר.
32. 24 — נסמן x-1, x, x+1. סכומם: 3x=72, x=24
33. 15 — קצב יחד: 1/6 עבודה לשעה. קצב א׳: 1/10 עבודה לשעה. קצב ב׳: 1/6 − 1/10 = 5/30 − 3/30 = 2/30 = 1/15. פועל ב׳ לבדו: 15 שעות.
34. 144 סמ״ר — צלע = היקף ÷ 4 = 48 ÷ 4 = 12 סמ. שטח ריבוע = צלע² = 12² = 144 סמ״ר.
35. 9 מ׳ — סולם A: c = 15 מ׳ (יתר), גובה הקיר = 12 מ׳ (קטגורה אחת). מרחק מהקיר בקרקע (קטגורה שנייה) d: d² + 12² = 15² d² = 225 − 144 = 81 d = √81 = 9 מ׳.
36. 77 — סכום 6 הציונים = 6 × 80 = 480. ללא הציון 95: 480 − 95 = 385. ממוצע 5 הציונים = 385 ÷ 5 = 77.
37. 1 — שיפוע: m = (9 − 3) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. נוסחה: y = 2x + b. הצב (1, 3): 3 = 2(1) + b → b = 1. הפונקציה: y = 2x + 1. כש-x = 0: y = 1.
38. 8√2 סמ — שטח = 64 → צלע = √64 = 8 סמ. באלכסון של ריבוע משתמשים בפיתגורס: d² = 8² + 8² = 128. d = √128 = 8√2 סמ.
39. 20 — 25% = רבע. 80/4=20.
40. x ≤ 1 — 5 − 2(x + 1) ≥ 1 → 5 − 2x − 2 ≥ 1 → 3 − 2x ≥ 1 → −2x ≥ −2 → x ≤ 1 (חלוקה במינוס הופכת כיוון).