סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 100 סמ״ר — אם הצלעות הן a ו-b אז 2(a + b) = 40, כלומר a + b = 20. השטח a · b מקסימלי כאשר a = b = 10 (ריבוע). שטח מקסימלי: 10 · 10 = 100.
2. 1 — ספרות האחדות של חזקות 7: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ... מחזור באורך 4. 100 ÷ 4 = 25 בדיוק (שארית 0), כלומר מתאים למקום הרביעי במחזור: 1.
3. 60 סמ״ר — שלב 1: הגובה חוצה בסיס ל-5 ס״מ. פיתגורס: h²+5²=13² ← h²=169−25=144 ← h=12 ס״מ. שלב 2: שטח=½×10×12=60 סמ״ר.
4. x=6 — 2x = 17-5 = 12, לכן x = 6
5. −56 — (−4)³ = (−4) × (−4) × (−4) = 16 × (−4) = −64. √64 = 8. סה״כ: −64 + 8 = −56.
6. 80° — שלב 1 — במשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות, לכן שתיהן 50°. שלב 2 — סכום זוויות במשולש: 180°. שלב 3 — זווית הראש: 180 − 50 − 50 = 80°.
7. 28 — סכום 6 המספרים = 6 × 14 = 84. סכום 7 המספרים = 7 × 16 = 112. המספר השביעי = 112 − 84 = 28.
8. 12 — שלב 1 — (−3)² = 9. שלב 2 — 2 × (−4) = −8, ולכן −(−8) = +8. שלב 3 — סיכום: 9 + 8 + (−5) = 12.
9. 1/4 — 0.25 = 25/100 = 1/4
10. 50 מ׳ — יחס גובה:מרחק = 3:4, מרחק = 40 מ׳. גובה = (3/4) × 40 = 30 מ׳. קו לפסגה (וֶתֶר): √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 מ׳.
11. 8 — נסמן גיל הבת כיום: x. גיל האמא: 3x. בעוד 8 שנים: 3x + 8 = 2(x + 8) → 3x + 8 = 2x + 16 → x = 8.
12. 2:3 — מחלקים את שני הצדדים ב-6: 12:18 = 2:3
13. 135° — שלב 1 — סכום זוויות מרובע = 360°: (2x+5) + (x+10) + (x−5) + 90 = 360 4x + 100 = 360 שלב 2 — 4x = 260 → x = 65. שלב 3 — הזוויות: (2·65+5)=135°, (65+10)=75°, (65−5)=60°, 90°. סכום: 135+75+60+90=360°. ✓ הגדולה ביותר: 135°.
14. x = 5 — פתח סוגריים: 6x + 3 − 2x + 6 = 29. אסוף איברים דומים: (6x − 2x) + (3 + 6) = 29 4x + 9 = 29 4x = 20 → x = 5.
15. 4/5 — סה״כ = 5 + 3 + 2 = 10. לא ירוקים = 5 + 3 = 8. הסתברות = 8/10 = 4/5.
16. 12 סמ — וֶתֶר: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 → c = 5 סמ. היקף: 3 + 4 + 5 = 12 סמ.
17. 28 ס"מ — צלע = √49 = 7. היקף = 4×7 = 28. (שורש + שטח + היקף)
18. 4 — AB + BA = (10a+b) + (10b+a) = 11(a+b) = 99 → a + b = 9. זוגות עם a > b ו-a+b=9 ו-a,b ספרות 1-9: (5,4), (6,3), (7,2), (8,1). סה״כ 4 זוגות.
19. -24 — שלושה מינוסים נותנים תוצאה שלילית: 3·4·2=24, ולכן -24.
20. 24 — a₁ = 1 − 1 + 1 = 1. a₂ = 4 − 2 + 1 = 3. a₃ = 9 − 3 + 1 = 7. a₄ = 16 − 4 + 1 = 13. סכום: 1 + 3 + 7 + 13 = 24.
21. 20 ימים — סך עבודה: 5×12 = 60 ימי-עבודה. 60 ÷ 3 = 20 ימים. (יחס הפוך)
22. 40 — ממוצע·כמות=סכום: 8·5=40.
23. 32 — שטח טרפז = (6+10)/2 × 4 = 8 × 4 = 32. (נוסחת טרפז + חיבור + כפל)
24. 160 סמ״ר — נסמן רוחב = x, אורך = x + 6. היקף: 2(x + x + 6) = 52 → 4x + 12 = 52 → 4x = 40 → x = 10. רוחב = 10 סמ, אורך = 16 סמ. שטח = 10 × 16 = 160 סמ״ר.
25. 34 ס״מ — שלב 1 — נוסחת היקף מלבן: 2 × (אורך + רוחב). שלב 2 — הצבה: 2 × (12 + 5) = 2 × 17 = 34 ס״מ.
26. 1620 ש"ח — אחרי עלייה: 1500×1.2=1800. אחרי ירידה: 1800×0.9=1620
27. 39.2 מ״ר — שטח טרפז: ½ × (18 + 10) × 8 = ½ × 28 × 8 = 112 מ״ר. שטח גינה: 0.35 × 112 = 39.2 מ״ר.
28. 18 — שלב א׳ — כמה עברו: ¾ × 120 = 90 תלמידים. שלב ב׳ — כמה קיבלו מעולה: ⅕ × 90 = 18 תלמידים.
29. 4x — (3+2-1)x = 4x
30. 108 סמ"ר — נסמן רוחב x, אורך 3x. היקף: 2(x+3x)=8x=48, x=6. שטח: 6×18=108
31. 2³ × 2⁴ = 128; (2²)³ = 64; הראשון גדול ב-64 — 2³ × 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷ = 128. (2²)³ = 2^(2×3) = 2⁶ = 64. 128 − 64 = 64. הביטוי הראשון גדול ב-64.
32. כן — 2·2+3=7. הנקודה מקיימת.
33. 50 סמ״ר — שלב 1: EB=10−6=4 ס״מ. שטח ריבוע=100 סמ״ר. שלב 2: שטח △ADE=½×AE×AD=½×6×10=30 סמ״ר. שטח △BCE=½×EB×BC=½×4×10=20 סמ״ר. שלב 3: שטח △CDE=100−30−20=50 סמ״ר.
34. אורך 15 מ׳, עלות 600 ₪ — פיתגורס: c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → c = 15 מ׳. עלות: 15 × 40 = 600 ₪.
35. 120 ₪ — הגובה חוצה את הבסיס → חצי בסיס = 5 סמ. פיתגורס: h² + 5² = 13² → h² = 169 − 25 = 144 → h = 12 סמ. שטח = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר. עלות צביעה = 60 × 2 = 120 ₪.
36. שני — x שלילי, y חיובי - רביע שני.
37. 4 — 5y = 50 − 3x → y = 10 − 3x/5. דרוש x מתחלק ב-5 וגם y ≥ 0. x ∈ {0, 5, 10, 15} נותן y ∈ {10, 7, 4, 1}. ארבעה פתרונות.
38. 1/2 — 3 זוגיים (2,4,6) מתוך 6: 3/6=1/2.
39. 56 — מספר הבחירות של 3 מתוך 8: C(8,3) = 8·7·6/(3·2·1) = 56.
40. 13:20 — היקף=2(8+5)=26, שטח=8×5=40. יחס 26:40 = 13:20. (היקף + שטח + יחס)