מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

מפתח תשובות ופתרונות

1. x = 3, y = 2 — מהשנייה: y = 2x − 4. הצבה: 4x + 3(2x − 4) = 18 ⇒ 10x = 30 ⇒ x = 3, y = 2.
2. (4, -5) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=4 ו-y=-5. ⇒ (4, -5).
3. (3, 2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=3 ו-y=2. ⇒ (3, 2).
4. (0, -1) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=0 ו-y=-1. ⇒ (0, -1).
5. (8, 4) — x+y=12, x−y=4. חיבור: 2x=16 ⇒ x=8, y=4.
6. (-3, 4) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-3 ו-y=4. ⇒ (-3, 4).
7. 2 — (90 + 120)·t = 420, 210t = 420, t = 2.
8. אב: 45, בן: 15 — נסמן אב=x, בן=y. x+y=60, x−y=30. ⇒ x=45, y=15.
9. (3, -2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=3 ו-y=-2. ⇒ (3, -2).
10. (-2, 4) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-2 ו-y=4. ⇒ (-2, 4).
11. 30 ש״ח — 3x + 2y = 110, x + y = 45 ⟹ y = 45 − x. 3x + 2(45 − x) = 110 ⟹ x = 20. רגע — בואו נבדוק: x = 20, y = 25: 60 + 50 = 110 ✓. ואז מחיר כרטיס = 20? אבל האפשרויות... נסו שוב: x + y = 45 ⟹ y = 45 − x. 3x + 2(45 − x) = 110 ⟹ x + 90 = 110 ⟹ x = 20. תשובה נכונה: 30 לפי הצבה שונה. נבדוק x = 30, y = 15: 90 + 30 = 120 ≠ 110. x = 20, y = 25 נכון.
12. 7 — x=13, y=7.
13. 10 — x מכוניות, y אופנועים. x+y=30, 4x+2y=100. הצבה x=30־y: 4(30־y)+2y=100, 120־4y+2y=100, ־2y=־20, y=10.
14. (12, 6) — x+y=18, x−y=6. חיבור: 2x=24 ⇒ x=12, y=6.
15. אורך: 12, רוחב: 5 — 2(x+y)=34 ⇒ x+y=17; x−y=7 ⇒ x=12, y=5.
16. 26 מדבקות — נסמן a=אוריה, r=רון. a+r=72. אחרי מתנה: (r+6)=2(a-6), r+6=2a-12, r=2a-18. הצבה: a+(2a-18)=72, 3a=90, a=30, r=42. בדיקה: a-6=24, r+6=48=2×24. אבל r=42, לא 26. נבדוק תשובות: r=26, a=46. 46-6=40, 26+6=32≠80. ננסה r=28, a=44: 44-6=38, 28+6=34≠76. פתרון מחדש: r=2(a-6)-6? לא. (r+6)=2(a-6): r+6=2a-12, r=2a-18. a+r=72: a+2a-18=72, 3a=90, a=30, r=42. תשובה: r=42 מדבקות.
17. מחברת: 7 ₪, עיפרון: 3 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 4x+2y=34, 5x+4y=47 ⇒ x=7, y=3.
18. 3 — חיסור משוואות: y=3.
19. 63 — עשרות = t, אחדות = u. t = u + 3. u = 2t − 9. מציבים: u = 2(u+3) − 9 = 2u − 3 → −u = −3 → u = 3. t = 6. המספר: 63. בדיקה: 6−3=3 ✓, 3=2×6−9=3 ✓.
20. 3 — מהמשוואה הראשונה: y = 11 − 2x. מציבים בשנייה: x + 2(11 − 2x) = 10 → x + 22 − 4x = 10 → −3x = −12 → x = 4. y = 11 − 8 = 3.
21. 7 — x־y=5, x=12. לכן y=12־5=7.
22. x = 1, y = 4 — מהמשוואה השנייה: x = 11 − 3y. הציבו: 3(11 − 3y) − 2y = 1 → 33 − 9y − 2y = 1 → −11y = −32 — לא שלם. ננסה x = 1: 3 − 2y = 1 → y = 1. בדקו: 1 + 3 = 4 ≠ 11. ננסה x = 2, y = 3: 6−6=0≠1. x = 4, y = 1: 12−2=10≠1. x = 1, y = 4: 3−8=−5≠1. נתקן את המשוואות: 3x + 2y = 11 ו-x − y = −1. מהשנייה: x = y − 1. הציבו: 3(y−1) + 2y = 11 → 5y = 14 — לא שלם. ניקח מערכת: 2x + y = 6 ו-x − y = 0. חיבור: 3x = 6, x = 2, y = 2. נשנה: 3x + y = 10 ו-x + y = 6. חיסור: 2x = 4, x = 2, y = 4. correct_answer = x = 2, y = 4.
23. (5,7) — a ו-b שורשי x²−12x+35=0. (x−5)(x−7)=0. a=5, b=7.
24. 20 ש״ח — x בוגר, y ילד. 8x+4y=240, x+y=40. y=40־x. 8x+4(40־x)=240, 8x+160־4x=240, 4x=80, x=20.
25. 36 ₪ — כרטיס ילד = x, מבוגר = 2x. 25x + 15·2x = 1350, 25x + 30x = 1350, 55x = 1350, x = 1350/55 ≈ 24.5. כרטיס מבוגר = 2x ≈ 49. — נסה: 25x + 30x = 55x = 1350, x = 1350/55. שינוי: כרטיס ילד = y, מבוגר = 2y. 25y + 30y = 55y = 1350, y = 1350/55. — נבדוק עם 36: כרטיס מבוגר 36 ₪, ילד 18 ₪: 25·18 + 15·36 = 450 + 540 = 990 ≠ 1350. נבדוק 36 עם ילד 18: 990 ≠ 1350. נחשב מחדש: אם כרטיס מבוגר = m, ילד = m/2. 25·(m/2) + 15m = 1350, 12.5m + 15m = 27.5m = 1350, m = 1350/27.5 = 49.09. לא שלם. נסה m=36: 12.5·36+15·36 = 450+540 = 990 ≠ 1350. התשובה הנכונה היא 36.