סטטיסטיקה והסתברות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\frac{1}{3}$ — לפי הגדרת ההסתברות המותנית $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$.
2. $5$ — החישוב נותן $5$ אפשרויות.
3. $\frac{3}{14}$ — בשליפה ראשונה $\frac{4}{8}$, ובשנייה (ללא החזרה) $\frac{3}{7}$. המכפלה $\frac{3}{14}$.
4. $\frac{1}{3}$ — לקובייה $6$ תוצאות שוות-הסתברות. מספר התוצאות המתאימות חלקי $6$ נותן $\frac{1}{3}$.
5. $18$ — ממוצע $= \frac{12+18+24}{3} = \frac{54}{3} = 18$.
6. $\frac{1}{8}$ — כל הטלה בלתי תלויה עם הסתברות $\frac{1}{2}$. ספירת המקרים המתאימים מתוך כל המקרים נותנת $\frac{1}{8}$.
7. $\frac{2}{5}$ — המספרים הזוגיים בין $1$ ל-$5$ הם: $2, 4$ — סך הכל $2$ מספרים. כלל האפשרויות הן $5$ (המספרים $1, 2, 3, 4, 5$). לכן ההסתברות היא $\frac{2}{5}$.
8. $20$ — ממוצע $= \frac{5+15+25+35}{4} = \frac{80}{4} = 20$.
9. $15$ — ממוצע $= \frac{10+10+20+20}{4} = \frac{60}{4} = 15$.
10. $\frac{452}{5}$ — ממוצע משוקלל $= \frac{88\cdot2+92\cdot3}{2+3} = \frac{452}{5} = \frac{452}{5}$.
11. $\frac{1}{12}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $4$ הוא $3$, ולכן ההסתברות $\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.
12. $\frac{1}{12}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $4$ הוא $3$, ולכן ההסתברות $\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.
13. $20$ — תוחלת מספר ההצלחות $= 50\cdot \frac{2}{5} = 20$.
14. $\frac{2}{3}$ — הסתברות המשלים $= 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}$.
15. $7$ — טווח $=$ הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר $= 10 - 3 = 7$.
16. $\frac{1}{2}$ — לקובייה $6$ תוצאות שוות-הסתברות. מספר התוצאות המתאימות חלקי $6$ נותן $\frac{1}{2}$.
17. $5$ — ממוצע $= \frac{5+5+5+5}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
18. $\frac{1}{9}$ — המאורעות בלתי תלויים (עם החזרה), לכן ההסתברות $= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$.
19. $\frac{1}{18}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $3$ הוא $2$, ולכן ההסתברות $\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$.
20. $\frac{1}{12}$ — באירועים בלתי תלויים $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{12}$.
21. $\frac{8}{25}$ — מספר הבנים שעברו הוא $16$ מתוך סך $50$ תלמידים, ולכן ההסתברות היא $\frac{16}{50} = \frac{8}{25}$. המסיח $\frac{2}{5} = \frac{20}{50}$ מייצג טעות נפוצה של חיבור בנים שעברו ובנים שנכשלו ($16+4=20$) במקום לקחת רק את אלה שעברו.
22. $\frac{7}{9}$ — לפי כלל המשלים $P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$.
23. $\frac{4}{5}$ — מבין $20$ הבנים, $16$ עברו, ולכן ההסתברות המותנית $\frac{4}{5}$.
24. $\frac{1}{6}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $7$ הוא $6$, ולכן ההסתברות $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
25. $60$ — טווח $=$ הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר $= 100 - 40 = 60$.
26. $75$ — ממוצע משוקלל $= \frac{50\cdot2+100\cdot2}{2+2} = \frac{300}{4} = 75$.
27. $\frac{7}{20}$ — סוכמים מסלולים: $P(A)\cdot\frac{1}{3}+P(B)\cdot\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{5}=\frac{7}{20}$.
28. $10\%$ — שכיחות יחסית באחוזים $= \frac{5}{50} \cdot 100\% = 10\%$.
29. $\frac{2}{3}$ — לפי הגדרת ההסתברות המותנית $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}$.
30. $20$ — ממוצע $= \frac{10\cdot1+20\cdot2+30\cdot1}{4} = \frac{80}{4} = 20$.