סטטיסטיקה והסתברות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\frac{1}{4}$ — שכיחות יחסית היא השכיחות חלקי סך כל הנתונים: $\frac{11}{44} = \frac{1}{4}$.
2. $\frac{3}{10}$ — ללא החזרה: בשליפה השנייה מספר הכדורים קטן. ההסתברות $= \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
3. $50$ — ממוצע $= \frac{40+50+60}{3} = \frac{150}{3} = 50$.
4. $12$ — השכיח הוא הערך החוזר על עצמו הכי הרבה פעמים. הערך $12$ מופיע $2$ פעמים, יותר מכל ערך אחר.
5. $\frac{1}{4}$ — שכיחות יחסית היא השכיחות חלקי סך כל הנתונים: $\frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.
6. $12$ — החישוב נותן $12$ אפשרויות.
7. $\frac{1}{2}$ — לפי הגדרת ההסתברות המותנית $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$.
8. $\frac{2}{5}$ — ללא החזרה: בשליפה השנייה מספר הכדורים קטן. ההסתברות $= \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$.
9. $12$ — טווח $=$ הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר $= 16 - 4 = 12$.
10. $6$ — כדי למצוא חציון ממיינים: $1, 3, 5, 7, 9, 11$. שני האיברים האמצעיים ברשימה הממוינת $1, 3, 5, 7, 9, 11$ הם $5$ ו-$7$, והחציון $= \frac{5+7}{2} = 6$.
11. $\frac{1}{12}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $4$ הוא $3$, ולכן ההסתברות $\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.
12. $\frac{5}{6}$ — לפי כלל המשלים $P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.
13. $5$ — כדי למצוא חציון ממיינים: $1, 5, 9$. האיבר האמצעי ברשימה הממוינת $1, 5, 9$ הוא $5$.
14. $\sqrt{\dfrac{8}{3}}$ — שלב 1 — חישוב הסטיות מהממוצע ($\mu=4$): $(2-4)^2=4,\; (4-4)^2=0,\; (6-4)^2=4$. שלב 2 — שונות אוכלוסייתית: $\sigma^2 = \dfrac{4+0+4}{3} = \dfrac{8}{3}$. שלב 3 — סטיית תקן: $\sigma = \sqrt{\dfrac{8}{3}} \approx 1.633$. מסיח $4$ שווה לממוצע ולא לסטיית התקן. מסיח $\dfrac{8}{3}$ הוא השונות בלבד, לפני הוצאת שורש. מסיח $2$ מתקבל אם מחלקים בـ$n-1=2$ (שונות מדגמית) במקום בـ$n=3$.
15. $\frac{1}{36}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $12$ הוא $1$, ולכן ההסתברות $\frac{1}{36}=\frac{1}{36}$.
16. $18$ — טווח $=$ הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר $= 20 - 2 = 18$.
17. $\frac{2}{5}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.
18. $\frac{7}{24}$ — סוכמים מסלולים: $P(A)\cdot\frac{1}{3}+P(B)\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{7}{24}$.
19. $\frac{1}{9}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $9$ הוא $4$, ולכן ההסתברות $\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.
20. $5$ — השכיח הוא הערך החוזר על עצמו הכי הרבה פעמים. הערך $5$ מופיע $3$ פעמים, יותר מכל ערך אחר.
21. $5$ — ממוצע $= \frac{5+5+5+5}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
22. $\frac{11}{25}$ — מספר הבנים שעברו $22$ מתוך $50$, ולכן ההסתברות $\frac{22}{50}=\frac{11}{25}$.
23. $\frac{5}{9}$ — הסתברות אף הצלחה היא $(\frac{2}{3})^{2}=\frac{4}{9}$, ולכן ההסתברות ללפחות אחת היא $1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.
24. $4$ — בכל הטלה $2$ אפשרויות, ולכן $2 \cdot 2 = 4$ תוצאות: עץ-עץ, עץ-פלי, פלי-עץ, פלי-פלי.
25. $\frac{3}{5}$ — סך הכדורים $9+6=15$. מספר הכדורים בצבע ירוק הוא $9$, ולכן ההסתברות $\frac{3}{5}$.
26. $\frac{9}{100}$ — עם החזרה הכד נשאר זהה: $\frac{3}{10}\cdot\frac{3}{10}=\frac{9}{100}$.
27. $2$ — $12 - 10 = 2$.
28. $\frac{3}{8}$ — לפי כלל המשלים $P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$.
29. $\frac{5}{7}$ — באירועים זרים $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$.
30. $\frac{3}{13}$ — מספר הקלפים המתאימים חלקי $52$ נותן $\frac{3}{13}$.