סטטיסטיקה והסתברות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $5$ — כדי למצוא חציון ממיינים: $2, 4, 6, 8$. שני האיברים האמצעיים ברשימה הממוינת $2, 4, 6, 8$ הם $4$ ו-$6$, והחציון $= \frac{4+6}{2} = 5$.
2. $\sqrt{\dfrac{8}{3}}$ — שלב 1 — חישוב הסטיות מהממוצע ($\mu=4$): $(2-4)^2=4,\; (4-4)^2=0,\; (6-4)^2=4$. שלב 2 — שונות אוכלוסייתית: $\sigma^2 = \dfrac{4+0+4}{3} = \dfrac{8}{3}$. שלב 3 — סטיית תקן: $\sigma = \sqrt{\dfrac{8}{3}} \approx 1.633$. מסיח $4$ שווה לממוצע ולא לסטיית התקן. מסיח $\dfrac{8}{3}$ הוא השונות בלבד, לפני הוצאת שורש. מסיח $2$ מתקבל אם מחלקים בـ$n-1=2$ (שונות מדגמית) במקום בـ$n=3$.
3. $\frac{80}{3}$ — ממוצע $= \frac{20+35+25}{3} = \frac{80}{3}$.
4. $\frac{1}{4}$ — לפי הגדרת ההסתברות המותנית $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{4}$.
5. $\frac{8}{25}$ — מספר הבנים שעברו הוא $16$ מתוך סך $50$ תלמידים, ולכן ההסתברות היא $\frac{16}{50} = \frac{8}{25}$. המסיח $\frac{2}{5} = \frac{20}{50}$ מייצג טעות נפוצה של חיבור בנים שעברו ובנים שנכשלו ($16+4=20$) במקום לקחת רק את אלה שעברו.
6. $\frac{1}{3}$ — הסתברות המשלים $= 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{3-2}{3} = \frac{1}{3}$.
7. $5$ — השכיח הוא הערך החוזר על עצמו הכי הרבה פעמים. הערך $5$ מופיע $3$ פעמים, יותר מכל ערך אחר.
8. $\frac{1}{36}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $2$ הוא $1$, ולכן ההסתברות $\frac{1}{36}=\frac{1}{36}$.
9. $\frac{3}{8}$ — באירועים זרים $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$.
10. $\frac{3}{5}$ — סך הכדורים $6+4=10$. מספר הכדורים בצבע ירוק הוא $6$, ולכן ההסתברות $\frac{3}{5}$.
11. $\frac{1}{10}$ — ההסתברות היא מספר המקרים הרצויים חלקי כלל המקרים: $\frac{5}{50} = \frac{1}{10}$.
12. $\frac{1}{9}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $9$ הוא $4$, ולכן ההסתברות $\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.
13. $36$ — בכל קובייה $6$ אפשרויות, ולכן $6 \cdot 6 = 36$ תוצאות.
14. $\frac{1}{3}$ — $3$ מגזרים מתאימים מתוך $9$ שווים, ולכן ההסתברות $\frac{1}{3}$.
15. $\frac{9}{25}$ — הסתברות אף הצלחה היא $(\frac{4}{5})^{2}=\frac{16}{25}$, ולכן ההסתברות ללפחות אחת היא $1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$.
16. $20$ — ממוצע $= \frac{10+20+30}{3} = \frac{60}{3} = 20$.
17. $\frac{1}{4}$ — עם החזרה הכד נשאר זהה: $\frac{5}{10}\cdot\frac{5}{10}=\frac{1}{4}$.
18. $20\%$ — $ \frac{1}{5} = 20\% $ (מכפילים את השבר ב-$100\%$).
19. $25\%$ — שכיחות יחסית באחוזים $= \frac{6}{24} \cdot 100\% = 25\%$.
20. $\frac{2}{5}$ — סך הכדורים $4+6=10$. מספר הכדורים בצבע אדום הוא $4$, ולכן ההסתברות $\frac{2}{5}$.
21. $3$ — כדי למצוא חציון ממיינים: $1, 2, 3, 4, 5$. האיבר האמצעי ברשימה הממוינת $1, 2, 3, 4, 5$ הוא $3$.
22. $20\%$ — שכיחות יחסית באחוזים $= \frac{8}{40} \cdot 100\% = 20\%$.
23. $\frac{1}{3}$ — לקובייה $6$ תוצאות שוות-הסתברות. מספר התוצאות המתאימות חלקי $6$ נותן $\frac{1}{3}$.
24. $6$ — השכיח הוא הערך החוזר על עצמו הכי הרבה פעמים. הערך $6$ מופיע $3$ פעמים, יותר מכל ערך אחר.
25. $\frac{1}{6}$ — יש $36$ זוגות אפשריים. מספר הזוגות שסכומם $7$ הוא $6$, ולכן ההסתברות $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
26. $25\%$ — שכיחות יחסית באחוזים $= \frac{4}{16} \cdot 100\% = 25\%$.
27. $\frac{5}{7}$ — באירועים זרים $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$.
28. $20$ — חצי מ-$40$ הוא $\frac{40}{2} = 20$ אנשים.
29. $720$ — החישוב נותן $720$ אפשרויות.
30. $60$ — טווח $=$ הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר $= 100 - 40 = 60$.