אלגברה ובעיות מילוליות — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x = 1$ או $x = 8$ — $a=1, b=-9, c=8$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (8) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{9 \pm 7}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 8$.
2. $6x^{2} - 10x$ — $2x \cdot 3x - 2x \cdot 5 = 6x^{2} - 10x$.
3. $x = 12$ — $\frac{x}{4} = 3 → x = 12$.
4. $x = 5$ — $6x + 3 = 5x + 8 → x = 5$.
5. $x = 4$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $7x - 4x = 18 - (6)$, כלומר $3x = 12$. לכן $x = \frac{12}{3} = 4$.
6. x + 2 — מצמצמים (x-3): התוצאה x+2 (עבור $x \ne 3)$.
7. 20% — כמות החומר $= 4 \cdot 0.25 = 1$ ליטר. נפח כולל $= 1 + 4 = 5$ ליטר. ריכוז $= \frac{1}{5} = 0.20 = 20%$.
8. x + 2 — מוציאים 3 במונה: $3\frac{x+2}{3} = x+2$.
9. x + 2 — מונה $= (x-2)(x+2)$. מצמצמים (x-2): x+2 (עבור $x \ne 2)$.
10. $x = 8$ — $\frac{x}{2} = 4 → x = 8$.
11. 6 ס"מ — היקף $= 2($אורך+רוחב$) = 30$, אז אורך+רוחב $= 15$. אורך $=$ רוחב+3. רוחב + רוחב $+ 3 = 15 → 2 \cdot$רוחב $= 12 →$ רוחב $= 6$.
12. שליש — קצב העבודה $= \frac{1}{6}$ לשעה. ב-2 שעות: $2 \cdot (\frac{1}{6}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
13. $x = -5$ או $x = -2$ — $a=1, b=7, c=10$. דיסקרימיננטה $= (7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (10) = 9$, ו-$\sqrt{9} = 3. x = \frac{-7 \pm 3}{2}$, ולכן $x = -5$ או $x = -2$.
14. $x = 5$ — נעביר את -3 לאגף ימין: $5x = 22 + 3 = 25$. נחלק ב-$5: x = \frac{25}{5} = 5$.
15. $x^{2} + 3x - 10$ — $x^{2} + 5x - 2x - 10 = x^{2} + 3x - 10$.
16. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $1 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 5$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
17. 138 ש"ח — התוספת $= 15%$ מ-$120 = 18$ ש"ח. המחיר $= 120 + 18 = 138$ ש"ח.
18. (x + 3)(x - 2) — מכפלה -6 וסכום 1: 3 ו-2-.
19. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $5x - 2x = 12 - (3)$, כלומר $3x = 9$. לכן $x = \frac{9}{3} = 3$.
20. $x = 15$ — $x = 5 \cdot 3 = 15$.
21. $x = 1$ או $x = 5$ — $a=1, b=-6, c=5$. דיסקרימיננטה $= (-6)^{2} - 4 \cdot (5) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{6 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 1$ או $x = 5$.
22. $x = 3$ או $x = 7$ — $a=1, b=-10, c=21$. דיסקרימיננטה $= (-10)^{2} - 4 \cdot (21) = 16, \sqrt{16} = 4. x = \frac{10 \pm 4}{2}$, ולכן $x = 3$ או $x = 7$.
23. $x = 3, y = 2$ — נפתור בשיטת ההצבה או החיבור. הפתרון המקיים את שתי המשוואות הוא $x = 3, y = 2$. בדיקה: $2 \cdot 3 + (1) \cdot 2 = 8$, וכן $1 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 1$.
24. $x = 5$ — $8x - 4 = 3x + 21 → 5x = 25 → x = 5$.
25. 200 ש"ח — אחרי הנחה של 20% משלמים 80% מהמחיר: $0.8 \cdot x = 160$, ולכן $x = \frac{160}{0}.8 = 200$ ש"ח.
26. $x = 5$ — נעביר את 5 לאגף ימין: $3x = 20 - 5 = 15$. נחלק ב-$3: x = \frac{15}{3} = 5$.
27. $x = -4$ או $x = -1$ — $a=1, b=5, c=4$. דיסקרימיננטה $= (5)^{2} - 4 \cdot (4) = 9, \sqrt{9} = 3. x = \frac{-5 \pm 3}{2}$, ולכן $x = -4$ או $x = -1$.
28. $15$ ו-$5$ — נסמן את המספרים $x$ ו-$y$ כך ש-$x > y$. מהתנאים: $x + y = 20$ ו-$x = 3y$. נציב את השנייה בראשונה: $3y + y = 20 \Rightarrow 4y = 20 \Rightarrow y = 5$. לכן $x = 3 \cdot 5 = 15$. אכן $15 + 5 = 20$ ו-$15 = 3 \cdot 5$.
29. $x = \frac{1}{2}$ או $x = 3$ — $a=2, b=-7, c=3$. דיסקרימיננטה $= (-7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (3) = 25, \sqrt{25} = 5. x = \frac{7 \pm 5}{4}$, ולכן $x = \frac{1}{2}$ או $x = 3$.
30. $x = -1$ או $x = 6$ — $a=1, b=-5, c=-6$. דיסקרימיננטה $= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 49$, ו-$\sqrt{49} = 7. x = \frac{5 \pm 7}{2}$, ולכן $x = -1$ או $x = 6$.
31. $x = 3$ — נעביר נעלמים שמאלה ומספרים ימינה: $9x - 4x = 17 - (2)$, כלומר $5x = 15$. לכן $x = \frac{15}{5} = 3$.
32. 10 — $x + (x+1) + (x+2) = 33 → 3x + 3 = 33 → x = 10. (10, 11, 12.)$
33. $\frac{2}{x}$ — מכנה משותף $x: \frac{5 - 3}{x} = \frac{2}{x}$.
34. $x = 2$ או $x = 7$ — $a=1, b=-9, c=14$. דיסקרימיננטה $= (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (14) = 25$, ו-$\sqrt{25} = 5. x = \frac{9 \pm 5}{2}$, ולכן $x = 2$ או $x = 7$.
35. $x = 4, y = 4$ — נפתור בשיטת החיבור או ההצבה. הפתרון הוא $x = 4, y = 4$. בדיקה: $1 \cdot 4 + (1) \cdot 4 = 8$, וכן $4 \cdot 4 + (-1) \cdot 4 = 12$.