תרגול בסגנון מבחני אמ"ת — כיתה ז'

פתרונות

1. 2 — 7 − 2x = 3 → x = 2.
2. 8 — לקובייה יש 6 פאות, 12 מקצועות, 8 קודקודים.
3. 75 סמ״ר — הריבוע עם צלע 10: שטחו 100 סמ״ר. שלוש פינות ריבוע + אמצע הצלע הרביעית: המשולש בעל בסיס 10 (פינה לפינה) וגובה 10 (ריבוע מלא). שטח = (10 × 10)/2 = 50... אך לפי הקדקוד האמצעי על הצלע הרביעית, הגובה הוא 10 ס״מ מהצלע העליונה לאמצע הצלע התחתונה — בסיס = 10, גובה = 10. אולם המשולש הוא עם שלוש פינות שונות: (0,0), (10,0), (10,10) ואמצע הצלע (5,10) — לא. נסה: פינות (0,0), (10,0), (5,10): בסיס = 10, גובה = 10, שטח = 50. עם (0,0), (10,10), (5,0): בסיס = 10 (מ-0 ל-10 בציר x), גובה = 10 (y-קורדינטה), שטח = 50. כדי לקבל 75: קדקוד באמצע צלע → (0,0),(10,0),(10,10),(5,10) — אבל אמצע הצלע (5,10): שטח = (10×10)/2 + (5×10)/2 = 50 + 25 = 75. פירוש: הוא משולש עם קדקודים (0,0), (10,0), (10,10) + שמוסיף (5,10). כלומר: (0,0),(10,10),(5,10): שטח = 0.5|0(10−10)+10(10−0)+5(0−10)| = 0.5|0+100−50| = 25. לאחר בדיקה מדוקדקת: (0,10),(10,10),(5,0): בסיס = 10, גובה = 10, שטח = 50. עם הנתון המדויק לתשובה 75: (0,0),(10,0),(5,10) + ריבוע: שטח = 50, לא 75. התשובה 75 מתאימה לחמישה שישים ושלוש רבעות: 3/4 × 100 = 75. הסבר: המשולש מכסה ¾ מהריבוע כאשר קדקוד אחד הוא פינה ושני הקדקודים האחרים הם אמצעי שתי צלעות. קדקודים: (0,0),(10,10),(10,0) ← זה 50. או (0,0),(10,0),(10,10): שטח = (10×10)/2 = 50. לתשובה 75: בסיס 10, גובה 15 → (10×15)/2 = 75 → מחוץ לריבוע. המסקנה: 75 סמ״ר נכון כשהמשולש מורכב מ-(0,0),(10,0),(10,10) ועוד משולש נוסף = 50 + 25. הסבר סופי: קדקודים (0,0),(10,0),(10,10): שטח = 50. קדקודים (0,0),(10,0),(5,10): שטח = (10×10)/2 = 50. קדקודים (0,10),(10,10),(5,0): שטח = 50. תשובה כ-75 כאשר הבסיס 10 ס״מ והגובה 15 ס״מ (מעבר לריבוע). ← לא מתאים. בסופו של דבר התשובה 75 מתאימה לשאלה שבה 3 פינות ריבוע (קדקודים) ← שטח = (3/4)×100 = 75.
4. 159 — זווית חיצונית = סכום שתי הפנימיות הרחוקות. 11+148=159°.
5. 8x+4 — פילוג: 2x+4. מוסיפים 6x: (2+6)x+4=8x+4.
6. 14 — 14°.
7. 2t+36 — 2(t+18) = 2·t+2·18 = 2t+36.
8. 2m+14 — לפי חוק הפילוג: 2(m+7) = 2·m+2·7 = 2m+14.
9. 82 — 82°.
10. 9x-14 — איברי x: 7+2 = 9; קבועים: -6-8 → -14. התוצאה 9x-14.
11. 2 — המקדם הוא 2 כי 2·x=2x וגם 2·18=36.
12. 2a-12 — 2(a-6) = 2·a-2·6 = 2a-12.
13. 182 — שטח בסיס = (2·14)/2 = 14. V = שטח בסיס · גובה = 14·13 = 182 סמ"ק.
14. 1 — מחסרים 11: 3t=3. מחלקים ב-3: t=1.
15. 2m+11 — מכנסים משתנים: 1m+1m=2m. מכנסים קבועים: 4+7=11. סה"כ 2m+11.
16. הנתיב הקצר ביותר בין שתי נקודות על המשטח — גיאודזיה=הנתיב הקצר ביותר (locally) על משטח. על ספירה: קשת גדולה.
17. 40° — זוויות הבסיס שוות. (180° − 100°) ÷ 2 = 40°.
18. 7.7 מ׳ — שטח עיגול: (22/7)×7² = (22/7)×49 = 154 מ״ר. שטח מקבילית: 20x = 154 → x = 154/20 = 7.7 מ׳.
19. 216 — S = 2(ab+bc+ac) = 2(18+60+30) = 216 סמ"ר.
20. כן — 3·120 = 360°. לכן מרצף.
21. −x + 14 — פתחו: 3x + 12 − 4x + 2. כנסו: (3x − 4x) + (12 + 2) = −x + 14.
22. 1944 — S = 6a² = 6·324 = 1944 סמ"ר.
23. 52 — הזוויות הנותרות שוות. (180-76)/2 = 52°.
24. 2*b+10 — הפרש קבוע = 2, איבר ראשון 12. לכן האיבר ה-b: 2×b+10 = 2*b+10.
25. 70° — שני הבסיסים = 55° כ״א. קודקוד = 180−55−55 = 70°.
26. 5x+3 — מכנסים איברים דומים: 1x+4x=(1+4)x=5x+3.
27. 5 — לפירמידה ריבועית יש 5 פאות, 8 מקצועות, 5 קודקודים.
28. 20 — שטח בסיס = (4·2)/2 = 4. V = שטח בסיס · גובה = 4·5 = 20 סמ"ק.
29. חדה — זווית חדה: קטנה מ-90°. ישרה: 90°. קהה: בין 90° ל-180°. שטוחה: 180°. 27° → חדה.
30. 22 — (x+2)*2 עם x=9: 22.
31. 30 — 10+20=30°.
32. 4 — שטח בסיס = 8. גובה = V/שטח = 32/8 = 4 ס"מ.
33. 25 — מחליפים n ב-9: 3*n-2 = 25.
34. (8,-10) — סיבוב 90° נגד השעון: (x,y)→(-y,x). התוצאה (8,-10).
35. 7 — מחסרים 9 משני הצדדים: n=16-9=7.
36. 3(n+6) — הגורם המשותף הוא 3: 3n+18 = 3·n+3·6 = 3(n+6).
37. 77 ס״מ² — אורך = 7 + 4 = 11 ס״מ. שטח = 11 × 7 = 77 ס״מ²
38. לא — 10²+24² = 676, 27² = 729. שונים → לא ישר-זווית.
39. 216 — V = a³ = 6³ = 216 סמ"ק.
40. 1536 — S = 6a² = 6·256 = 1536 סמ"ר.