תרגול בסגנון מבחני אמ"ת — כיתה ז'

פתרונות

1. אין פתרון — אחרי כינוס: 7=10, טענה שקרית — אין פתרון.
2. 25 ס״מ — c = √(7²+24²) = √(49+576) = √625 = 25 ס״מ
3. לא — 10/9≠1. לא פתרון.
4. 8 — 3x/4=6 → x=8.
5. (10,10) — סיבוב 270° נגד השעון: (x,y)→(y,-x). התוצאה (10,10).
6. ז.ז (AA) — כאשר שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני, המשולשים דומים לפי משפט ז.ז (AA — שתי זוויות). הזווית השלישית מתקבלת אוטומטית (180° פחות שתי הזוויות).
7. 3 — x + 2 = 0 → x = −2. או x − 3 = 0 → x = 3. הפתרון החיובי: 3.
8. אם 1/4<K≤1, אז M הומאומורפי לSⁿ — Sphere theorem: עקמומיות חתכית K∈(1/4,1] → M≅Sⁿ (Berger-Klingenberg). Brendle-Schoen הרחיבו ל-K∈[1/4,1].
9. נפלה טעות בחישוב כי שטח תמיד חיובי — שטח הוא כמות גיאומטרית תמיד אי-שלילית. תשובה שלילית מעידה על טעות בחישוב.
10. 4(5y+2x+4) — הגורם המשותף של 20, 8, 16 הוא 4. מחלקים כל איבר ומקבלים 4(5y+2x+4).
11. 48 ס״מ² — האלכסון מחלק את המרובע לשני משולשים שווים בשטח. 96 ÷ 2 = 48 ס״מ².
12. 3k+36 — לפי חוק הפילוג: 3(k+12) = 3·k+3·12 = 3k+36.
13. (7,8) — סיבוב 180°: (x,y)→(-x,-y). התוצאה (7,8).
14. 1:3 — גובה המשולש: h² + 3² = 5² → h² = 25 − 9 = 16 → h = 4 סמ. שטח משולש: ½ × 6 × 4 = 12 סמ״ר. שטח ריבוע (צלע = 6): 6² = 36 סמ״ר. יחס: 12 : 36 = 1 : 3.
15. 1 — cos(0°) = 1.
16. 121 ס״מ² — צלע = 44 ÷ 4 = 11 ס״מ. שטח = 11² = 121 ס״מ².
17. לא — מציבים b=57: 57/8≠7. אינו פתרון.
18. 35° — זווית B: B+C = 180−40 = 140°, B=C=70°. חוצה B: ABD = 70/2 = 35°.
19. 36 — הזוויות הנותרות שוות. (180-108)/2 = 36°.
20. ז.צ.ז — ז.צ.ז = זווית-צלע-זווית (ASA). שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן.
21. 2m+4 — מכנסים משתנים: 1m+1m=2m. מכנסים קבועים: 2+2=4. סה"כ 2m+4.
22. 84 ס״מ² — שטח = ½ × a × b = ½ × 7 × 24 = ½ × 168 = 84 ס״מ². (היתר = 25 ס״מ אך לא נדרש לחישוב השטח.)
23. 14 — מכפילים ב-14 את שני האגפים: t/14·14=1·14, לכן t=14.
24. m+1 — גדול/ה ב-1 ⇒ m+1.
25. t-1 — קטן/ה ב-1 ⇒ t-1.
26. (-13,-13) — הזזה: מחברים -3 ל-X ו--3 ל-Y. (-10+-3, -10+-3) = (-13,-13).
27. 22 — זוויות צמודות משלימות ל-180°. 180-158=22°.
28. D(−3, 3), שטח = 40 יחידות² — D חולק x עם A (x = −3) ו-y עם C (y = 3). אורך = |5 − (−3)| = 8. גובה = |3 − (−2)| = 5. שטח = 8 × 5 = 40.
29. 100 ס״מ² — סכום הבסיסים = 12+8=20. גובה = 20/2=10. שטח = ((12+8)×10)/2 = (20×10)/2 = 100 ס״מ²
30. 45 — לפי פילוג: 3·15=45.
31. 45 — האלכסון יוצר משולש ישר-זווית עם הצלעות. d² = 27²+36² = 2025 → d = 45 ס"מ.
32. 60 — V = אורך · רוחב · גובה = 3·2·10 = 60 סמ"ק.
33. 150 — S = 2(ab+bc+ac) = 2(33+33+9) = 150 סמ"ר.
34. 3b-18 — 3(b-6) = 3·b-3·6 = 3b-18.
35. הזזה — מ-(-1,1) ל-(1,4) — הזזה.
36. 71 — הזוויות הנותרות שוות. (180-38)/2 = 71°.
37. 50° — המשולש התחתון: קודקוד = 80°, זוויות בסיס = (180° − 80°) ÷ 2 = 50° כל אחת.
38. 1331 — V = a³ = 11³ = 1331 סמ"ק.
39. צ.ז.צ — AC הצלע המשותפת לשני המשולשים (AC=CA). ∠BAC=∠DCA (נתון). AB=CD (נתון). כעת: ב-△ABC יש צלע AB, הזווית ∠BAC, וצלע AC. ב-△CDA יש צלע CD, הזווית ∠DCA, וצלע CA. הזווית ∠BAC כלואה בין AB ו-AC — לכן צ.ז.צ.
40. 1 — מחסרים 8: 3x=3. מחלקים ב-3: x=1.