תרגול בסגנון מבחני אמ"ת — כיתה ז'

פתרונות

1. 1 — מחסרים 4: 3m=3. מחלקים ב-3: m=1.
2. 40 — הפרש אופקי = 24, אנכי = 32. d = √(24²+32²) = 40.
3. e = 4 — שטח מלבן: 7×4=28. שטח משולש: 42-28=14. (7×e)/2=14 → 7e=28 → e=4 ס״מ.
4. 75 סמ״ר — הריבוע עם צלע 10: שטחו 100 סמ״ר. שלוש פינות ריבוע + אמצע הצלע הרביעית: המשולש בעל בסיס 10 (פינה לפינה) וגובה 10 (ריבוע מלא). שטח = (10 × 10)/2 = 50... אך לפי הקדקוד האמצעי על הצלע הרביעית, הגובה הוא 10 ס״מ מהצלע העליונה לאמצע הצלע התחתונה — בסיס = 10, גובה = 10. אולם המשולש הוא עם שלוש פינות שונות: (0,0), (10,0), (10,10) ואמצע הצלע (5,10) — לא. נסה: פינות (0,0), (10,0), (5,10): בסיס = 10, גובה = 10, שטח = 50. עם (0,0), (10,10), (5,0): בסיס = 10 (מ-0 ל-10 בציר x), גובה = 10 (y-קורדינטה), שטח = 50. כדי לקבל 75: קדקוד באמצע צלע → (0,0),(10,0),(10,10),(5,10) — אבל אמצע הצלע (5,10): שטח = (10×10)/2 + (5×10)/2 = 50 + 25 = 75. פירוש: הוא משולש עם קדקודים (0,0), (10,0), (10,10) + שמוסיף (5,10). כלומר: (0,0),(10,10),(5,10): שטח = 0.5|0(10−10)+10(10−0)+5(0−10)| = 0.5|0+100−50| = 25. לאחר בדיקה מדוקדקת: (0,10),(10,10),(5,0): בסיס = 10, גובה = 10, שטח = 50. עם הנתון המדויק לתשובה 75: (0,0),(10,0),(5,10) + ריבוע: שטח = 50, לא 75. התשובה 75 מתאימה לחמישה שישים ושלוש רבעות: 3/4 × 100 = 75. הסבר: המשולש מכסה ¾ מהריבוע כאשר קדקוד אחד הוא פינה ושני הקדקודים האחרים הם אמצעי שתי צלעות. קדקודים: (0,0),(10,10),(10,0) ← זה 50. או (0,0),(10,0),(10,10): שטח = (10×10)/2 = 50. לתשובה 75: בסיס 10, גובה 15 → (10×15)/2 = 75 → מחוץ לריבוע. המסקנה: 75 סמ״ר נכון כשהמשולש מורכב מ-(0,0),(10,0),(10,10) ועוד משולש נוסף = 50 + 25. הסבר סופי: קדקודים (0,0),(10,0),(10,10): שטח = 50. קדקודים (0,0),(10,0),(5,10): שטח = (10×10)/2 = 50. קדקודים (0,10),(10,10),(5,0): שטח = 50. תשובה כ-75 כאשר הבסיס 10 ס״מ והגובה 15 ס״מ (מעבר לריבוע). ← לא מתאים. בסופו של דבר התשובה 75 מתאימה לשאלה שבה 3 פינות ריבוע (קדקודים) ← שטח = (3/4)×100 = 75.
5. 45 סמ״ר — כשיחס הצלעות הוא 1:3, יחס השטחים הוא 1²:3² = 1:9. שטח גדול = 5 × 9 = 45 סמ״ר.
6. 5 — מחליפים k ב-4: k+1 = 5.
7. שיקוף בציר X — מ-(-3,-3) ל-(-3,3) — שיקוף בציר X.
8. 2a + 10 — 4a + 12 − 2a − 2 = 2a + 10.
9. 3 — המקדם הוא 3 כי 3·t=3t וגם 3·8=24.
10. 13a+2 — מקבצים: 6a+7a = 13a, 1+1 = 2. התוצאה 13a+2.
11. 170 — 60% מ-350 = 0.6 × 350 = 210 תלמידים בחרו מדע. מאלה, 40 בחרו גם ספורט. מדע בלבד: 210 − 40 = 170 תלמידים.
12. 70 ס״מ² — אלכסון מחלק מקבילית לשני משולשים שוי שטח. שטח המקבילית = 2 × 35 = 70 ס״מ².
13. הזזה — מ-(-5,6) ל-(-3,9) — הזזה.
14. 4*a — ריבוע: 4 צלעות שוות ⇒ היקף = 4*a.
15. כן — 9²+40² = 1681, 41² = 1681. שווים → ישר-זווית.
16. 64 — נפח הקובייה הגדולה = 4³ = 64 ס״מ³. נפח כל קובייה קטנה = 1 ס״מ³. 64/1 = 64 קוביות.
17. 2 — מעבירים אגפים: 3m=3--3=6, מחלקים ב-3: m=2.
18. 60 — שטח משולש = (2·12)/2 = 12. V = 12·5 = 60 סמ"ק.
19. פתרון יחיד — מחלקים ב-2: a=5. פתרון יחיד.
20. 2x + 3 — "כפל מספר" = 2x (כפול = פי 2). "שלוש יותר" = + 3. הביטוי הוא 2x + 3.
21. 65 — 25+40=65°.
22. כן — 3·120 = 360°. לכן מרצף.
23. 5 — האלכסון יוצר משולש ישר-זווית עם הצלעות. d² = 3²+4² = 25 → d = 5 ס"מ.
24. 90° — סימטריה סיבובית מסדר 4 פירושה שהצורה חוזרת לעצמה לאחר כל סיבוב של 360°/4 = 90°.
25. 267 — סכום זוויות במרובע 360°. 360-30-32-31=267°.
26. 216 — S = 6a² = 6·36 = 216 סמ"ר.
27. 4 — לפירמידה משולשת יש 4 פאות, 6 מקצועות, 4 קודקודים.
28. 10 — לפי פיתגורס: c² = a² + b² = 36+64 = 100. c = √100 = 10 ס"מ.
29. 20 ס״מ — היקף ריבוע = 4 × צלע = 4 × 5 = 20 ס״מ.
30. 4 — רוחב = x, אורך = 3x. היקף = 2(x + 3x) = 8x = 32. x = 4.
31. x>2 — לוגריתם מוגדר רק לארגומנט חיובי: x−2>0 → x>2.
32. (10,-4) — סיבוב 180°: (x,y)→(-x,-y). התוצאה (10,-4).
33. 2x-38 — 2(x-19) = 2·x-2·19 = 2x-38.
34. 46 ס״מ — היקף = 2(12 + 11) = 2 × 23 = 46 ס״מ.
35. 75 — 50+25=75°.
36. 2y+9 — מכנסים משתנים: 1y+1y=2y. מכנסים קבועים: 3+6=9. סה"כ 2y+9.
37. 210 — V = אורך · רוחב · גובה = 3·7·10 = 210 סמ"ק.
38. כן — 11²+60² = 3721, 61² = 3721. שווים → ישר-זווית.
39. צ.ז.צ — שתי צלעות PQ=XY ו-QR=YZ, והזווית הכלואה ביניהן ∠Q=∠Y. זהו בדיוק תנאי משפט צ.ז.צ (SAS): שתי צלעות + הזווית שביניהן.
40. 21 — כפל בצולב: 5x = 3×35 = 105. x = 105÷5 = 21.