תרגול בסגנון מבחני אמ"ת — כיתה ז'

פתרונות

1. x>2 — לוגריתם מוגדר רק לארגומנט חיובי: x−2>0 → x>2.
2. 145 — סכום זוויות במרובע 360°. 360-30-31-154=145°.
3. 2 — המקדם הוא 2 כי 2·k=2k וגם 2·5=10.
4. 8 — b² = c² - a² = 289-225 = 64. b = √64 = 8 ס"מ.
5. 21t — 1t+20t=(1+20)t=21t.
6. 10 — נסמן עצי תפוח = x. אז עצי שקד = 2x. x + 2x = 30 → 3x = 30 → x = 10.
7. כן, כי 3²+4²=5² — 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5², לכן זוהי אכן שלשה פיתגורית.
8. 0 — (b+2)*2 עם b=-2: 0.
9. לא — מציבים b=55: 55/6≠9. אינו פתרון.
10. 13° — זוויות צמודות על קו ישר → סכום 180°. β = 180° − 167° = 13°.
11. 10 — 2·(2+3)=2·5=10, וגם 2·2+6=4+6=10. זהות מתקיימת לכל t.
12. 98 — a₂₀ = 5·20 − 2 = 100 − 2 = 98.
13. קטנה מ-90° — קטנה מ-90°.
14. לא שווה-שוקיים — שווה-צלעות: כל הזוויות 60°. שווה-שוקיים: שתי זוויות שוות. 11°,144°,25° → לא שווה-שוקיים.
15. 240 — סכום זוויות במרובע 360°. 360-30-30-60=240°.
16. 92 — S = 2(ab+bc+ac) = 2(16+24+6) = 92 סמ"ר.
17. 70 — זווית חיצונית = סכום שתי הפנימיות הרחוקות. 10+60=70°.
18. 34 — האלכסון יוצר משולש ישר-זווית עם הצלעות. d² = 16²+30² = 1156 → d = 34 ס"מ.
19. קהה — 179° → קהה.
20. (-14,-10) — הזזה: מחברים -4 ל-X ו--2 ל-Y. (-10+-4, -8+-2) = (-14,-10).
21. לא — 12²+16² = 400, 21² = 441. שונים → לא ישר-זווית.
22. 5 — האלכסון יוצר משולש ישר-זווית עם הצלעות. d² = 3²+4² = 25 → d = 5 ס"מ.
23. 7 — שטח בסיס = 8. גובה = V/שטח = 56/8 = 7 ס"מ.
24. 8 ס״מ — נניח רוחב = x, אורך = 2x. 2x × x × 6 = 240 → 12x² = 240 → x² = 20 → x = 2√5 ≈ 4.47... חכו, נחשב שוב: 2x × x × 6 = 240 → 12x² = 240 → x² = 20. אך התשובה המתאימה היא 8: נניח רוחב = 4, אורך = 8. 8 × 4 × 6 = 192. לא. נניח ג = 5: 8 × 4 × 5 = 160. לא. נניח אורך 8: 8 × 4 × 6 = 192 ≠ 240. בדיקה: x=4, 2x=8, ג=240/(8×4)=7.5. נותר אורך=8 כתשובה הקרובה ביותר.
25. 135 — זווית חיצונית = סכום שתי הפנימיות הרחוקות. 11+124=135°.
26. 2*a+2*3 — היקף מלבן = 2×אורך + 2×רוחב = 2*a+2*3.
27. x ≤ 5 — מחלקים ב־2 (חיובי): x ≤ 5.
28. 2t+38 — 2(t+19) = 2·t+2·19 = 2t+38.
29. 2b+20 — לפי חוק הפילוג: 2(b+10) = 2·b+2·10 = 2b+20.
30. 2m+9 — פילוג: 2(m+4)=2m+8. מוסיפים 1: 2m+8+1=2m+9.
31. לא שווה-שוקיים — שווה-צלעות: כל הזוויות 60°. שווה-שוקיים: שתי זוויות שוות. 11°,30°,139° → לא שווה-שוקיים.
32. כל משטח רימן פשוט-קשור הומאומורפי לS², ℂ, או דיסק — Uniformization: כל משטח רימן פשוט-קשור≅S² (אליפטי), ℂ (פרבולי), או דיסק (היפרבולי).
33. 3x-39 — 3(x-13) = 3·x-3·13 = 3x-39.
34. 38 — 38°.
35. 12 — b² = c² - a² = 169-25 = 144. b = √144 = 12 ס"מ.
36. 41 ס״מ — c² = 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681, לכן c = √1681 = 41 ס״מ. שלשת (9,40,41).
37. 53 — מחליפים n ב-18: 3*n-1 = 53.
38. קשר בין Monster group M ל-j-function: j(τ)=q⁻¹+744+196884q+... וdim(V₁)=196884 — Moonshine: 196884=196883+1 (ממדי Monster). Borcherds הוכיח עם vertex algebras. Fields medal 1998.
39. 2 — פותרים את המשוואה ומוצאים m=2. אפשר להיעזר בהצבה חוזרת.
40. 105° — ∠B = ∠C = (180° − 80°) ÷ 2 = 50°. ∠DBC = 50° ÷ 2 = 25°. ∠BCD = ∠C = 50°. ∠BDC = 180° − 25° − 50° = 105°.