טריגונומטריה — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $\frac{1}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(150^\circ)=\frac{1}{2}$.
2. $0$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(180^\circ)=0$.
3. $-\frac{1}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(210^\circ)=-\frac{1}{2}$.
4. $1$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(0^\circ)=1$.
5. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
6. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
7. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
8. $-\frac{1}{2}$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(240^\circ)=-\frac{1}{2}$.
9. $0$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(270^\circ)=0$.
10. $-\frac{119}{169}$ — $\cos 2x=2\cos^2 x-1=2\cdot\frac{25}{169}-1=-\frac{119}{169}$.
11. $-\frac{7}{25}$ — $\cos 2x=1-2\sin^2 x=1-\frac{32}{25}=-\frac{7}{25}$.
12. $\frac{24}{25}$ — $\sin x=\frac{3}{5},\ \cos x=\frac{4}{5}$, ולכן $\sin 2x=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$.
13. $\sin a\cos b+\cos a\sin b$ — נוסחת סכום הזוויות: $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$.
14. $\cos a\cos b-\sin a\sin b$ — נוסחת סכום הזוויות: $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$.
15. $\cos a\cos b+\sin a\sin b$ — נוסחת הפרש הזוויות: $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.
16. $x=\frac{\pi}{4}+\pi k$ — לטנגנס מחזור $\pi$, ולכן $x=\frac{\pi}{4}+\pi k$.
17. $x=\pi k$ — $\sin x=0$ באפסים $x=\pi k$.
18. $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ — $\cos x=0$ עבור $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$.
19. $10\sqrt{2}$ — $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{10\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}=10\sqrt2$.
20. $10$ — $2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{10}{1/2}=20$, ולכן $R=10$.
21. $5$ — $c^2=9+16-2\cdot12\cos90^\circ=25$, ולכן $c=5$.
22. $\frac{4}{5}$ — אם $\sin\theta=\frac35$ ו-$\theta\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ אז $\cos\theta=\frac45$.
23. $[-1,1]$ — $\arcsin$ מוגדרת רק עבור $x\in[-1,1]$.
24. $[0,\pi]$ — טווח $\arccos$ הוא $[0,\pi]$.
25. $\frac{\pi}{3}$ — $60^\circ=60\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{3}$ רדיאנים.
26. $\frac{\pi}{2}$ — $90^\circ=90\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{2}$ רדיאנים.
27. $\frac{2\pi}{3}$ — $120^\circ=120\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}$ רדיאנים.
28. $\frac{5\pi}{3}$ — $300^\circ=300\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{3}$ רדיאנים.
29. $\frac{11\pi}{6}$ — $330^\circ=330\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{11\pi}{6}$ רדיאנים.
30. $\tan x$ — $\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$ לפי הגדרה.
31. $-\cos x$ — $\cos(\pi-x)=-\cos x$.
32. $\cos x$ — זהות ההשלמה: $\sin(\frac\pi2-x)=\cos x$.
33. $\sin x$ — זהות ההשלמה: $\cos(\frac\pi2-x)=\sin x$.
34. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — מצמצמים $60^\circ$ אל $60^\circ$, ולכן $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
35. $1$ — מצמצמים $90^\circ$ אל $90^\circ$, ולכן $\sin(90^\circ)=1$.
36. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — מצמצמים $120^\circ$ אל $120^\circ$, ולכן $\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
37. $0$ — מצמצמים $360^\circ$ אל $0^\circ$, ולכן $\sin(360^\circ)=0$.
38. $\frac{1}{2}$ — מצמצמים $390^\circ$ אל $30^\circ$, ולכן $\sin(390^\circ)=\frac{1}{2}$.
39. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — מצמצמים $420^\circ$ אל $60^\circ$, ולכן $\sin(420^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
40. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — מצמצמים $660^\circ$ אל $300^\circ$, ולכן $\sin(660^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.