טריגונומטריה — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $\frac{1}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(150^\circ)=\frac{1}{2}$.
2. $0$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(180^\circ)=0$.
3. $-\frac{1}{2}$ — לפי מעגל היחידה והערכים המיוחדים, $\sin(210^\circ)=-\frac{1}{2}$.
4. $1$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(0^\circ)=1$.
5. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
6. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
7. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
8. $-\frac{1}{2}$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(240^\circ)=-\frac{1}{2}$.
9. $0$ — לפי מעגל היחידה, $\cos(270^\circ)=0$.
10. $-\frac{119}{169}$ — $\cos 2x=2\cos^2 x-1=2\cdot\frac{25}{169}-1=-\frac{119}{169}$.
11. $-\frac{7}{25}$ — $\cos 2x=1-2\sin^2 x=1-\frac{32}{25}=-\frac{7}{25}$.
12. $\frac{24}{25}$ — $\sin x=\frac{3}{5},\ \cos x=\frac{4}{5}$, ולכן $\sin 2x=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$.
13. $\sin a\cos b+\cos a\sin b$ — נוסחת סכום הזוויות: $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$.
14. $\cos a\cos b-\sin a\sin b$ — נוסחת סכום הזוויות: $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$.
15. $\cos a\cos b+\sin a\sin b$ — נוסחת הפרש הזוויות: $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.
16. $x=\frac{\pi}{4}+\pi k$ — לטנגנס מחזור $\pi$, ולכן $x=\frac{\pi}{4}+\pi k$.
17. $x=\pi k$ — $\sin x=0$ באפסים $x=\pi k$.
18. $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ — $\cos x=0$ עבור $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$.
19. $10\sqrt{2}$ — $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{10\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}=10\sqrt2$.
20. $10$ — $2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{10}{1/2}=20$, ולכן $R=10$.