חזקות — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $4$ — $8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4$.
2. $-1$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_2 \frac{1}{2}=-1$ כי הבסיס בחזקת -1 נותן את המספר.
3. $-3$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_2 \frac{1}{8}=-3$ כי הבסיס בחזקת -3 נותן את המספר.
4. $\frac{1}{2}$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_4 2=\frac{1}{2}$ כי הבסיס בחזקת \frac{1}{2} נותן את המספר.
5. $6$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_2 64=6$ כי הבסיס בחזקת 6 נותן את המספר.
6. $\frac{1}{3}$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_8 2=\frac{1}{3}$ כי הבסיס בחזקת \frac{1}{3} נותן את המספר.
7. $\frac{1}{2}$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{16} 4=\frac{1}{2}$ כי הבסיס בחזקת \frac{1}{2} נותן את המספר.
8. $\log_a \frac{x^3}{y}$ — $3\log_a x-\log_a y=\log_a x^3-\log_a y=\log_a\frac{x^3}{y}$.
9. $\frac{3}{2}$ — $\log_4 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac{3}{2}$.
10. $\frac{4}{3}$ — $\log_8 16=\frac{\log_2 16}{\log_2 8}=\frac{4}{3}$.
11. $x=0$ — $e^0=1$, ולכן $x=0$.
12. $x=\frac{3}{2}$ — $3^{2x}=3^3\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac32$.
13. $x=0\ \text{or}\ x=2$ — נסמן $t=2^x$: $t^2-5t+4=0\Rightarrow t=1,4$, ולכן $2^x=1\Rightarrow x=0$ או $2^x=4\Rightarrow x=2$.
14. $x=4$ — $\log_2 x(x-2)=3\Rightarrow x^2-2x=8\Rightarrow x=4$ (הפתרון $x=-2$ נפסל).
15. $x=4$ — $2x+1=9\Rightarrow x=4$.
16. $x=8$ — $\log_2 x=3\Rightarrow x=8$.
17. $4$ — $8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^2=2^2=4$.
18. $8$ — $16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8$.
19. $\frac{1}{3}$ — $27^{-1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{27}}=\frac13$.
20. $1$ — $\ln e=\log_e e=1$.