גיאומטריה — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $(1,3)$ — נקודת אמצע:$ M=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{-2+8}{2}\right)=(1,3)$.
2. $3$ — מכפלה סקלרית במרחב:$ 0\cdot5+3\cdot1+2\cdot0=3$.
3. $(5,3)$ — נקודת אמצע:$ M=\left(\frac{3+7}{2},\frac{5+1}{2}\right)=(5,3)$.
4. $(2,3)$ — נקודת אמצע:$ M=\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(2,3)$.
5. $2$ — וקטורים מקבילים הם כפולה זה של זה. מכיוון ש$-10=2\cdot5,$ גם $t=2\cdot1=2$.
6. $15$ — וקטורים מקבילים הם כפולה זה של זה. מכיוון ש$-5=5\cdot1,$ גם $t=5\cdot3=15$.
7. $12$ — וקטורים מקבילים הם כפולה זה של זה. מכיוון ש$-3=3\cdot1,$ גם $t=3\cdot4=12$.
8. $(3,2,6)$ — חיבור וקטורים במרחב רכיב$-$רכיב:$ (3+0,2+0,1+5)=(3,2,6)$.
9. $20$ — וקטורים מקבילים הם כפולה זה של זה. מכיוון ש$-8=4\cdot2,$ גם $t=4\cdot5=20$.
10. $(5,4)$ — נקודת אמצע:$ M=\left(\frac{2+8}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(5,4)$.
11. $12$ — וקטורים מקבילים הם כפולה זה של זה. מכיוון ש$-6=6\cdot1,$ גם $t=6\cdot2=12$.
12. $(3,7)$ — נקודת אמצע:$ M=\left(\frac{0+6}{2},\frac{4+10}{2}\right)=(3,7)$.
13. $\frac{1}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v}+\frac{2}{3}\vec{w}$ — $\vec{BD'}=\vec{AD'}-\vec{AB}=(\vec{v}+\vec{w})-\vec{u}=-\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$. לכן $\vec{BF}=\frac{2}{3}(-\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})$, ו-$\vec{AF}=\vec{AB}+\vec{BF}=\vec{u}+\frac{2}{3}(-\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}-\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v}+\frac{2}{3}\vec{w}=\frac{1}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v}+\frac{2}{3}\vec{w}$.
14. $(6,4)$ — נקודת אמצע:$ M=\left(\frac{2+10}{2},\frac{6+2}{2}\right)=(6,4)$.
15. $9$ — אורך וקטור במרחב:$ |\vec{v}|=\sqrt{1^2+4^2+8^2}=\sqrt{81}=9$.
16. $10$ — נוסחת המרחק:$ d=\sqrt{(8-2)^2+(11-3)^2}=\sqrt{100}=10$.
17. $0$ — שיפוע:$ m=\frac{2-2}{5-1}=0$.
18. $13$ — נוסחת המרחק:$ d=\sqrt{(5-0)^2+(12-0)^2}=\sqrt{169}=13$.
19. $13$ — נוסחת המרחק:$ d=\sqrt{(13-1)^2+(7-2)^2}=\sqrt{169}=13$.
20. $2$ — שיפוע:$ m=\frac{4-0}{1--1}=2$.