פונקציות — כיתה י"ב · 5 יח"ל (בינוני)

פתרונות

1. $5 + i$ — נפתח סוגריים: $(2 + 3i)(1 - i) = 2\cdot1 + 2\cdot(-1)i + 3i\cdot1 + 3i\cdot-1i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= -3i^2 = 3$. החלק הממשי: $2 + 3 = 5$, החלק המדומה: $1i$. התוצאה: $5 + i$.
2. $-5 + 10i$ — נפתח סוגריים: $(1 + 2i)(3 + 4i) = 1\cdot3 + 1\cdot(4)i + 2i\cdot3 + 2i\cdot4i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= 8i^2 = -8$. החלק הממשי: $3 - 8 = -5$, החלק המדומה: $10i$. התוצאה: $-5 + 10i$.
3. $5$ — נפתח סוגריים: $(2 + i)(2 - i) = 2\cdot2 + 2\cdot(-1)i + 1i\cdot2 + 1i\cdot-1i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= -1i^2 = 1$. החלק הממשי: $4 + 1 = 5$, החלק המדומה: $0i$. התוצאה: $5$.
4. $7 + 4i$ — נפתח סוגריים: $(3 - 2i)(1 + 2i) = 3\cdot1 + 3\cdot(2)i + -2i\cdot1 + -2i\cdot2i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= -4i^2 = 4$. החלק הממשי: $3 + 4 = 7$, החלק המדומה: $4i$. התוצאה: $7 + 4i$.
5. $2i$ — נפתח סוגריים: $(1 + i)(1 + i) = 1\cdot1 + 1\cdot(1)i + 1i\cdot1 + 1i\cdot1i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= 1i^2 = -1$. החלק הממשי: $1 - 1 = 0$, החלק המדומה: $2i$. התוצאה: $2i$.
6. $13$ — נפתח סוגריים: $(2 - 3i)(2 + 3i) = 2\cdot2 + 2\cdot(3)i + -3i\cdot2 + -3i\cdot3i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= -9i^2 = 9$. החלק הממשי: $4 + 9 = 13$, החלק המדומה: $0i$. התוצאה: $13$.
7. $3 + 5i$ — נפתח סוגריים: $(4 + i)(1 + i) = 4\cdot1 + 4\cdot(1)i + 1i\cdot1 + 1i\cdot1i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= 1i^2 = -1$. החלק הממשי: $4 - 1 = 3$, החלק המדומה: $5i$. התוצאה: $3 + 5i$.
8. $-5 + 5i$ — נפתח סוגריים: $(-1 + 2i)(3 + i) = -1\cdot3 + -1\cdot(1)i + 2i\cdot3 + 2i\cdot1i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= 2i^2 = -2$. החלק הממשי: $-3 - 2 = -5$, החלק המדומה: $5i$. התוצאה: $-5 + 5i$.
9. $10i$ — נפתח סוגריים: $(5)(2i) = 5\cdot0 + 5\cdot(2)i + 0i\cdot0 + 0i\cdot2i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= 0i^2 = 0$. החלק הממשי: $0 + 0 = 0$, החלק המדומה: $10i$. התוצאה: $10i$.
10. $-2i$ — נפתח סוגריים: $(1 - i)(1 - i) = 1\cdot1 + 1\cdot(-1)i + -1i\cdot1 + -1i\cdot-1i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= 1i^2 = -1$. החלק הממשי: $1 - 1 = 0$, החלק המדומה: $-2i$. התוצאה: $-2i$.
11. $2 + 10i$ — נפתח סוגריים: $(3 + 2i)(2 + 2i) = 3\cdot2 + 3\cdot(2)i + 2i\cdot2 + 2i\cdot2i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= 4i^2 = -4$. החלק הממשי: $6 - 4 = 2$, החלק המדומה: $10i$. התוצאה: $2 + 10i$.
12. $8 - 4i$ — נפתח סוגריים: $(2 + 2i)(1 - 3i) = 2\cdot1 + 2\cdot(-3)i + 2i\cdot1 + 2i\cdot-3i$. נזכור $i^2=-1$, לכן האיבר האחרון $= -6i^2 = 6$. החלק הממשי: $2 + 6 = 8$, החלק המדומה: $-4i$. התוצאה: $8 - 4i$.
13. $5$ — הערך המוחלט של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. כאן $|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
14. $10$ — הערך המוחלט של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. כאן $|z|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.
15. $13$ — הערך המוחלט של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. כאן $|z|=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.
16. $17$ — הערך המוחלט של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. כאן $|z|=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$.
17. $5$ — הערך המוחלט של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. כאן $|z|=\sqrt{0^2+5^2}=\sqrt{0+25}=\sqrt{25}=5$.
18. $7$ — הערך המוחלט של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. כאן $|z|=\sqrt{7^2+0^2}=\sqrt{49+0}=\sqrt{49}=7$.
19. $15$ — הערך המוחלט של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. כאן $|z|=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$.
20. $29$ — הערך המוחלט של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. כאן $|z|=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29$.
21. $x = \pm i$ — מבודדים את $x^2$: $x^2=-1$, ולכן $x=\pm\sqrt{-1}=\pm i$. הפתרונות מרוכבים מצומדים.
22. $x = \pm 2i$ — מבודדים את $x^2$: $x^2=-4$, ולכן $x=\pm\sqrt{-4}=\pm 2i$. הפתרונות מרוכבים מצומדים.
23. $x = \pm 3i$ — מבודדים את $x^2$: $x^2=-9$, ולכן $x=\pm\sqrt{-9}=\pm 3i$. הפתרונות מרוכבים מצומדים.
24. $x = \pm 5i$ — מבודדים את $x^2$: $x^2=-25$, ולכן $x=\pm 5i$. הפתרונות מרוכבים מצומדים.
25. $x = \pm 4i$ — מבודדים את $x^2$: $x^2=-16$, ולכן $x=\pm 4i$. הפתרונות מרוכבים מצומדים.
26. $13$ — $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$.
27. $17$ — $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$.
28. $25$ — $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25$.
29. $41$ — $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1600+81}=\sqrt{1681}=41$.
30. $11$ — $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{0+121}=\sqrt{121}=11$.
31. $13$ — $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{169+0}=\sqrt{169}=13$.
32. $41$ — $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{81+1600}=\sqrt{1681}=41$.
33. $53$ — $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{784+2025}=\sqrt{2809}=53$.
34. $0$ — $i+(-1)+(-i)+1=(i-i)+(-1+1)=0$. סכום של מחזור שלם של חזקות $i$ הוא תמיד $0$.
35. $1$ — $100$ מתחלק ב-$4$ ללא שארית, ולכן $i^{100}=i^{4 \cdot 25}=1$.
36. $-2-2i$ — $(2-4)+(-3-(-1))i=-2+(-3+1)i=-2-2i$.
37. $1+5i$ — $(3-2)+(1-(-4))i=1+5i$.
38. $2+5i$ — $3(2+i)=6+3i$, ואז $6+3i-(4-2i)=(6-4)+(3+2)i=2+5i$.
39. $8-3i$ — $2(1-3i)=2-6i$ ו-$3(2+i)=6+3i$. הסכום: $(2+6)+(-6+3)i=8-3i$.
40. $5+i$ — פותחים סוגריים: $2 \cdot 1+2 \cdot(-i)+3i \cdot 1+3i \cdot(-i)=2-2i+3i-3i^{2}$. כיוון ש-$i^{2}=-1$ מקבלים $2-2i+3i+3=5+i$.