פונקציות — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קל)

פתרונות

1. $-1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 2 בחלוקה ב-4: $2 = 4 \cdot 0 + 2$, ולכן $i^{2} = i^{2} = $ $-1$.
2. $-i$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 3 בחלוקה ב-4: $3 = 4 \cdot 0 + 3$, ולכן $i^{3} = i^{3} = $ $-i$.
3. $1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 4 בחלוקה ב-4: $4 = 4 \cdot 1 + 0$, ולכן $i^{4} = i^{0} = $ $1$.
4. $i$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 5 בחלוקה ב-4: $5 = 4 \cdot 1 + 1$, ולכן $i^{5} = i^{1} = $ $i$.
5. $-1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 6 בחלוקה ב-4: $6 = 4 \cdot 1 + 2$, ולכן $i^{6} = i^{2} = $ $-1$.
6. $-i$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 7 בחלוקה ב-4: $7 = 4 \cdot 1 + 3$, ולכן $i^{7} = i^{3} = $ $-i$.
7. $1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 8 בחלוקה ב-4: $8 = 4 \cdot 2 + 0$, ולכן $i^{8} = i^{0} = $ $1$.
8. $-1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 10 בחלוקה ב-4: $10 = 4 \cdot 2 + 2$, ולכן $i^{10} = i^{2} = $ $-1$.
9. $-i$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 11 בחלוקה ב-4: $11 = 4 \cdot 2 + 3$, ולכן $i^{11} = i^{3} = $ $-i$.
10. $i$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. נחשב את השארית של 13 בחלוקה ב-4: $13 = 4 \cdot 3 + 1$, ולכן $i^{13} = i^{1} = $ $i$.
11. $-1$ — על פי ההגדרה של היחידה המדומה, $i^2=-1$. זוהי תכונת היסוד של מספרים מרוכבים.
12. $3 + 7i$ — בחיבור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(2) + (1) = 3$ עבור הממשי, $(3) + (4) = 7$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $3 + 7i$.
13. $8 + 4i$ — בחיבור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(5) + (3) = 8$ עבור הממשי, $(-2) + (6) = 4$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $8 + 4i$.
14. $3 + 3i$ — בחיבור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(1) + (2) = 3$ עבור הממשי, $(1) + (2) = 3$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $3 + 3i$.
15. $2 + 4i$ — בחיסור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(4) - (2) = 2$ עבור הממשי, $(5) - (1) = 4$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $2 + 4i$.
16. $5 - 5i$ — בחיסור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(7) - (2) = 5$ עבור הממשי, $(3) - (8) = -5$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $5 - 5i$.
17. $2 + 2i$ — בחיבור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(-3) + (5) = 2$ עבור הממשי, $(4) + (-2) = 2$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $2 + 2i$.
18. $7 - 4i$ — בחיבור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(6) + (1) = 7$ עבור הממשי, $(-1) + (-3) = -4$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $7 - 4i$.
19. $4 + 5i$ — בחיבור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(0) + (4) = 4$ עבור הממשי, $(5) + (0) = 5$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $4 + 5i$.
20. $5i$ — בחיסור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(3) - (3) = 0$ עבור הממשי, $(7) - (2) = 5$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $5i$.
21. $-6 - 4i$ — בחיסור מספרים מרוכבים פועלים בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה: $(-2) - (4) = -6$ עבור הממשי, $(-3) - (1) = -4$ עבור המדומה. לכן התוצאה היא $-6 - 4i$.
22. $3 - 4i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=3$, $b=4$, ולכן הצמוד הוא $3 - 4i$.
23. $2 + 5i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=2$, $b=-5$, ולכן הצמוד הוא $2 + 5i$.
24. $-1 - 2i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=-1$, $b=2$, ולכן הצמוד הוא $-1 - 2i$.
25. $6 - i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=6$, $b=1$, ולכן הצמוד הוא $6 - i$.
26. $-3i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=0$, $b=3$, ולכן הצמוד הוא $-3i$.
27. $-4 + 2i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=-4$, $b=-2$, ולכן הצמוד הוא $-4 + 2i$.
28. $5 + 3i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=5$, $b=-3$, ולכן הצמוד הוא $5 + 3i$.
29. $1 - 7i$ — הצמוד של מספר מרוכב $z=a+bi$ הוא $\bar z = a-bi$ — החלק הממשי נשאר זהה ומקדם $i$ מחליף סימן. כאן $a=1$, $b=7$, ולכן הצמוד הוא $1 - 7i$.
30. $i$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4. השארית של 9 בחלוקה ב-4 היא 1, ולכן $i^{9}=i^{1}=$$i$.
31. $1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4. השארית של 12 בחלוקה ב-4 היא 0, ולכן $i^{12}=i^{0}=$$1$.
32. $-1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4. השארית של 14 בחלוקה ב-4 היא 2, ולכן $i^{14}=i^{2}=$$-1$.
33. $-i$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4. השארית של 15 בחלוקה ב-4 היא 3, ולכן $i^{15}=i^{3}=$$-i$.
34. $1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4. השארית של 16 בחלוקה ב-4 היא 0, ולכן $i^{16}=i^{0}=$$1$.
35. $i$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4. השארית של 17 בחלוקה ב-4 היא 1, ולכן $i^{17}=i^{1}=$$i$.
36. $-1$ — חזקות של $i$ מחזוריות במחזור 4. השארית של 18 בחלוקה ב-4 היא 2, ולכן $i^{18}=i^{2}=$$-1$.
37. $8 - 3i$ — הצמוד $\bar z=a-bi$: החלק הממשי נשאר, סימן מקדם $i$ מתהפך. כאן הצמוד הוא $8 - 3i$.
38. $2 - 9i$ — הצמוד $\bar z=a-bi$: החלק הממשי נשאר, סימן מקדם $i$ מתהפך. כאן הצמוד הוא $2 - 9i$.
39. $-5 - 4i$ — הצמוד $\bar z=a-bi$: החלק הממשי נשאר, סימן מקדם $i$ מתהפך. כאן הצמוד הוא $-5 - 4i$.
40. $10 + i$ — הצמוד $\bar z=a-bi$: החלק הממשי נשאר, סימן מקדם $i$ מתהפך. כאן הצמוד הוא $10 + i$.