מבחנים מיוחדים — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $z=\pm 3i$ — $z^2=-9=9i^2$, לכן $z=\pm 3i$.
2. $1$ — חזקות $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i$. השארית של $8$ בחלוקה ב-4 היא $0$, ולכן $i^{8}=1$.
3. $i$ — חזקות $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i$. השארית של $9$ בחלוקה ב-4 היא $1$, ולכן $i^{9}=i$.
4. $-1$ — חזקות $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i$. השארית של $10$ בחלוקה ב-4 היא $2$, ולכן $i^{10}=-1$.
5. $15$ — המודול: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$.
6. $25$ — המודול: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$.
7. $29$ — המודול: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29$.
8. $1-1i$ — הצמוד של $z=a+bi$ הוא $\bar{z}=a-bi$. כאן $\bar{z}=1-1i$ (משנים את סימן החלק המדומה).
9. $2-2i$ — הצמוד של $z=a+bi$ הוא $\bar{z}=a-bi$. כאן $\bar{z}=2-2i$ (משנים את סימן החלק המדומה).
10. $3-3i$ — הצמוד של $z=a+bi$ הוא $\bar{z}=a-bi$. כאן $\bar{z}=3-3i$ (משנים את סימן החלק המדומה).
11. $4-5i$ — הצמוד של $z=a+bi$ הוא $\bar{z}=a-bi$. כאן $\bar{z}=4-5i$ (משנים את סימן החלק המדומה).
12. $5-6i$ — הצמוד של $z=a+bi$ הוא $\bar{z}=a-bi$. כאן $\bar{z}=5-6i$ (משנים את סימן החלק המדומה).
13. $6-1i$ — הצמוד של $z=a+bi$ הוא $\bar{z}=a-bi$. כאן $\bar{z}=6-1i$ (משנים את סימן החלק המדומה).
14. $33$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\dfrac{6}{2}x^2+2x=3x^2+2x$. לפי הנוסחה $F(3)-F(0)=3\cdot 9+2\cdot 3=27+6=33$.
15. $76$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\dfrac{8}{2}x^2+3x=4x^2+3x$. לפי הנוסחה $F(4)-F(0)=4\cdot 16+3\cdot 4=64+12=76$.
16. $45$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\dfrac{2}{2}x^2+4x=1x^2+4x$. לפי הנוסחה $F(5)-F(0)=1\cdot 25+4\cdot 5=25+20=45$.
17. $15$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\dfrac{2}{2}x^2+2x=1x^2+2x$. לפי הנוסחה $F(3)-F(0)=1\cdot 9+2\cdot 3=9+6=15$.
18. $44$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\dfrac{4}{2}x^2+3x=2x^2+3x$. לפי הנוסחה $F(4)-F(0)=2\cdot 16+3\cdot 4=32+12=44$.
19. $95$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\dfrac{6}{2}x^2+4x=3x^2+4x$. לפי הנוסחה $F(5)-F(0)=3\cdot 25+4\cdot 5=75+20=95$.
20. $33$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\dfrac{6}{2}x^2+2x=3x^2+2x$. לפי הנוסחה $F(3)-F(0)=3\cdot 9+2\cdot 3=27+6=33$.
21. $76$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\dfrac{8}{2}x^2+3x=4x^2+3x$. לפי הנוסחה $F(4)-F(0)=4\cdot 16+3\cdot 4=64+12=76$.
22. $45$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\dfrac{2}{2}x^2+4x=1x^2+4x$. לפי הנוסחה $F(5)-F(0)=1\cdot 25+4\cdot 5=25+20=45$.
23. $\dfrac{1}{x}$ — לפי כלל השרשרת: $\dfrac{d}{dx}\ln(2x)=\dfrac{1}{2x}\cdot 2=\dfrac{1}{x}$. הקבוע מצטמצם.
24. $\dfrac{1}{x}$ — לפי כלל השרשרת: $\dfrac{d}{dx}\ln(3x)=\dfrac{1}{3x}\cdot 3=\dfrac{1}{x}$. הקבוע מצטמצם.
25. $\dfrac{1}{x}$ — לפי כלל השרשרת: $\dfrac{d}{dx}\ln(4x)=\dfrac{1}{4x}\cdot 4=\dfrac{1}{x}$. הקבוע מצטמצם.
26. $\dfrac{1}{x}$ — לפי כלל השרשרת: $\dfrac{d}{dx}\ln(2x)=\dfrac{1}{2x}\cdot 2=\dfrac{1}{x}$. הקבוע מצטמצם.
27. $\dfrac{1}{x}$ — לפי כלל השרשרת: $\dfrac{d}{dx}\ln(3x)=\dfrac{1}{3x}\cdot 3=\dfrac{1}{x}$. הקבוע מצטמצם.
28. $\dfrac{1}{x}$ — לפי כלל השרשרת: $\dfrac{d}{dx}\ln(4x)=\dfrac{1}{4x}\cdot 4=\dfrac{1}{x}$. הקבוע מצטמצם.
29. $3e^{3x}$ — לפי כלל השרשרת: $\dfrac{d}{dx}e^{3x}=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
30. $4e^{4x}$ — לפי כלל השרשרת: $\dfrac{d}{dx}e^{4x}=e^{4x}\cdot 4=4e^{4x}$.
31. $1e^{1x}$ — לפי כלל השרשרת: $\dfrac{d}{dx}e^{1x}=e^{1x}\cdot 1=1e^{1x}$.
32. $2$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{3} 9$ הוא החזקה שאליה צריך להעלות $3$ כדי לקבל $9$. מכיוון ש-$3^{2}=9$, מתקבל $2$.
33. $3$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{4} 64$ הוא החזקה שאליה צריך להעלות $4$ כדי לקבל $64$. מכיוון ש-$4^{3}=64$, מתקבל $3$.
34. $4$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{2} 16$ הוא החזקה שאליה צריך להעלות $2$ כדי לקבל $16$. מכיוון ש-$2^{4}=16$, מתקבל $4$.
35. $2$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{4} 16$ הוא החזקה שאליה צריך להעלות $4$ כדי לקבל $16$. מכיוון ש-$4^{2}=16$, מתקבל $2$.
36. $3$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{2} 8$ הוא החזקה שאליה צריך להעלות $2$ כדי לקבל $8$. מכיוון ש-$2^{3}=8$, מתקבל $3$.
37. $4$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{3} 81$ הוא החזקה שאליה צריך להעלות $3$ כדי לקבל $81$. מכיוון ש-$3^{4}=81$, מתקבל $4$.
38. $2$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{2} 4$ הוא החזקה שאליה צריך להעלות $2$ כדי לקבל $4$. מכיוון ש-$2^{2}=4$, מתקבל $2$.
39. $3$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{3} 27$ הוא החזקה שאליה צריך להעלות $3$ כדי לקבל $27$. מכיוון ש-$3^{3}=27$, מתקבל $3$.
40. $4$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{4} 256$ הוא החזקה שאליה צריך להעלות $4$ כדי לקבל $256$. מכיוון ש-$4^{4}=256$, מתקבל $4$.