מבחנים מיוחדים — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $z=\pm 3i$ — $z^2=-9=9i^2$, לכן $z=\pm 3i$.
2. $1$ — חזקות $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i$. השארית של $8$ בחלוקה ב-4 היא $0$, ולכן $i^{8}=1$.
3. $i$ — חזקות $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i$. השארית של $9$ בחלוקה ב-4 היא $1$, ולכן $i^{9}=i$.
4. $-1$ — חזקות $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i$. השארית של $10$ בחלוקה ב-4 היא $2$, ולכן $i^{10}=-1$.
5. $15$ — המודול: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$.
6. $25$ — המודול: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$.
7. $29$ — המודול: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29$.
8. $1-1i$ — הצמוד של $z=a+bi$ הוא $\bar{z}=a-bi$. כאן $\bar{z}=1-1i$ (משנים את סימן החלק המדומה).
9. $2-2i$ — הצמוד של $z=a+bi$ הוא $\bar{z}=a-bi$. כאן $\bar{z}=2-2i$ (משנים את סימן החלק המדומה).
10. $3-3i$ — הצמוד של $z=a+bi$ הוא $\bar{z}=a-bi$. כאן $\bar{z}=3-3i$ (משנים את סימן החלק המדומה).