מבחנים מיוחדים — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קל)

פתרונות

1. $-1$ — חזקות $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i$. השארית של $2$ בחלוקה ב-4 היא $2$, ולכן $i^{2}=-1$.
2. $-i$ — חזקות $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i$. השארית של $11$ בחלוקה ב-4 היא $3$, ולכן $i^{11}=-i$.
3. $1$ — חזקות $i$ מחזוריות במחזור 4: $i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i$. השארית של $12$ בחלוקה ב-4 היא $0$, ולכן $i^{12}=1$.
4. $20$ — המודול: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$.
5. $26$ — המודול: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26$.
6. $4-4i$ — הצמוד של $z=a+bi$ הוא $\bar{z}=a-bi$. כאן $\bar{z}=4-4i$ (משנים את סימן החלק המדומה).
7. $5-5i$ — הצמוד של $z=a+bi$ הוא $\bar{z}=a-bi$. כאן $\bar{z}=5-5i$ (משנים את סימן החלק המדומה).
8. $7-2i$ — הצמוד של $z=a+bi$ הוא $\bar{z}=a-bi$. כאן $\bar{z}=7-2i$ (משנים את סימן החלק המדומה).
9. $6$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\dfrac{2}{2}x^2+1x=1x^2+1x$. לפי הנוסחה $F(2)-F(0)=1\cdot 4+1\cdot 2=4+2=6$.
10. $102$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\dfrac{4}{2}x^2+5x=2x^2+5x$. לפי הנוסחה $F(6)-F(0)=2\cdot 36+5\cdot 6=72+30=102$.
11. $14$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\dfrac{6}{2}x^2+1x=3x^2+1x$. לפי הנוסחה $F(2)-F(0)=3\cdot 4+1\cdot 2=12+2=14$.
12. $174$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\dfrac{8}{2}x^2+5x=4x^2+5x$. לפי הנוסחה $F(6)-F(0)=4\cdot 36+5\cdot 6=144+30=174$.
13. $6$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\dfrac{2}{2}x^2+1x=1x^2+1x$. לפי הנוסחה $F(2)-F(0)=1\cdot 4+1\cdot 2=4+2=6$.
14. $102$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\dfrac{4}{2}x^2+5x=2x^2+5x$. לפי הנוסחה $F(6)-F(0)=2\cdot 36+5\cdot 6=72+30=102$.
15. $14$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\dfrac{6}{2}x^2+1x=3x^2+1x$. לפי הנוסחה $F(2)-F(0)=3\cdot 4+1\cdot 2=12+2=14$.
16. $\dfrac{1}{x}$ — לפי כלל השרשרת: $\dfrac{d}{dx}\ln(5x)=\dfrac{1}{5x}\cdot 5=\dfrac{1}{x}$. הקבוע מצטמצם.
17. $\dfrac{1}{x}$ — לפי כלל השרשרת: $\dfrac{d}{dx}\ln(1x)=\dfrac{1}{1x}\cdot 1=\dfrac{1}{x}$. הקבוע מצטמצם.
18. $\dfrac{1}{x}$ — לפי כלל השרשרת: $\dfrac{d}{dx}\ln(5x)=\dfrac{1}{5x}\cdot 5=\dfrac{1}{x}$. הקבוע מצטמצם.
19. $1e^{1x}$ — לפי כלל השרשרת: $\dfrac{d}{dx}e^{1x}=e^{1x}\cdot 1=1e^{1x}$.
20. $2e^{2x}$ — לפי כלל השרשרת: $\dfrac{d}{dx}e^{2x}=e^{2x}\cdot 2=2e^{2x}$.
21. $3e^{3x}$ — לפי כלל השרשרת: $\dfrac{d}{dx}e^{3x}=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
22. $5$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{3} 243$ הוא החזקה שאליה צריך להעלות $3$ כדי לקבל $243$. מכיוון ש-$3^{5}=243$, מתקבל $5$.
23. $1$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{4} 4$ הוא החזקה שאליה צריך להעלות $4$ כדי לקבל $4$. מכיוון ש-$4^{1}=4$, מתקבל $1$.
24. $5$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{4} 1024$ הוא החזקה שאליה צריך להעלות $4$ כדי לקבל $1024$. מכיוון ש-$4^{5}=1024$, מתקבל $5$.
25. $1$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{2} 2$ הוא החזקה שאליה צריך להעלות $2$ כדי לקבל $2$. מכיוון ש-$2^{1}=2$, מתקבל $1$.
26. $5$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{2} 32$ הוא החזקה שאליה צריך להעלות $2$ כדי לקבל $32$. מכיוון ש-$2^{5}=32$, מתקבל $5$.
27. $\dfrac{1}{6}$ — במאורעות בלתי תלויים: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{6}$.
28. $\dfrac{1}{15}$ — במאורעות בלתי תלויים: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{15}$.
29. $\dfrac{1}{20}$ — במאורעות בלתי תלויים: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{20}$.
30. $\dfrac{1}{35}$ — במאורעות בלתי תלויים: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{7}=\dfrac{1}{35}=\dfrac{1}{35}$.
31. $5$ — נוסחת המרחק: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
32. $13$ — נוסחת המרחק: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$.
33. $5$ — נוסחת המרחק: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
34. $5$ — שיפוע: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{11-1}{4-2}=\dfrac{10}{2}=5$.
35. $6$ — שיפוע: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{20-2}{6-3}=\dfrac{18}{3}=6$.
36. $6+10i$ — מחברים חלק ממשי עם ממשי וחלק מדומה עם מדומה: $(5+1)+(5+5)i=6+10i$.
37. $8+7i$ — מחברים חלק ממשי עם ממשי וחלק מדומה עם מדומה: $(6+2)+(1+6)i=8+7i$.
38. $0+8i$ — נפתח סוגריים ונשתמש ב-$i^2=-1$: $(2+2i)(2+2i)=4+4i+4i+4i^2=(4-4)+(4+4)i=0+8i$.
39. $0+18i$ — נפתח סוגריים ונשתמש ב-$i^2=-1$: $(3+3i)(3+3i)=9+9i+9i+9i^2=(9-9)+(9+9)i=0+18i$.
40. $-18+24i$ — נפתח סוגריים ונשתמש ב-$i^2=-1$: $(2+4i)(3+6i)=6+12i+12i+24i^2=(6-24)+(12+12)i=-18+24i$.