חדו״א — כיתה י"ב · 5 יח"ל (בינוני)

פתרונות

1. $3$ — $f'(x)=2x-6=0\Rightarrow x=3$.
2. $\frac{3}{x}$ — $f'(x)=\frac{3x^2}{x^3}=\frac{3}{x}$. (גם: $\ln(x^3)=3\ln x$, נגזרת $\frac{3}{x}$.)
3. $e^x(x+1)$ — לפי כלל המכפלה, $(xe^x)'=1\cdot e^x + x\cdot e^x = e^x(x+1)$. זכרו את הכללים הבסיסיים לגזירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות.
4. $\frac{5}{5x-1}$ — $f'(x)=\frac{(5x-1)'}{5x-1}=\frac{5}{5x-1}$.
5. $\frac{1}{4}e^{4x} + c$ — $\int e^{4x}dx=\frac{1}{4}e^{4x}+c$. אין לשכוח את קבוע האינטגרציה $c$.
6. $\frac{1}{x}+1$ — $(\ln x + x)'=\frac{1}{x}+1$. זכרו את הכללים הבסיסיים לגזירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות.
7. $e^x+\frac{1}{x}$ — גוזרים אבר אבר: $e^x+\frac{1}{x}$.
8. $\frac{1}{(x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
9. $f''(x)=0$ (והחלפת סימן) — בנקודת פיתול הנגזרת השנייה מתאפסת ומחליפה סימן (שינוי כיוון הקעירות).
10. מינימום — $f''(x)=2>0$, ולכן הקיצון הוא מינימום (פרבולה פתוחה למעלה).
11. $-e^{-x}$ — $f'(x)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}$.
12. $-4(3-x)^3$ — $4(3-x)^3\cdot(-1)=-4(3-x)^3$.
13. $e^{x}$ — נגזרת הפונקציה המעריכית הטבעית שווה לעצמה: $\frac{d}{dx}e^x=e^x$.
14. $5e^{5x}$ — $(e^{5x})'=5e^{5x}$. שימוש בכללי הגזירה (שרשרת/מכפלה/מנה).
15. $\frac{1}{2}$ — $f'(x)=\frac{1}{x}$, ובנקודה $x=2$: $f'(2)=\frac{1}{2}$.
16. $\dfrac{8}{3}$ — $\int_{0}^{2} x^{2}dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\dfrac{8}{3}-0=\dfrac{8}{3}$.
17. $(1,0)$ — אפס של הפונקציה: $\ln x=0 \Rightarrow x=1$. נקודת החיתוך עם ציר $x$ היא $(1,0)$. הכירו את התכונות הבסיסיות של הפונקציות $e^x$ ו-$\ln x$.
18. כל המספרים הממשיים — הפונקציה המעריכית $e^x$ מוגדרת לכל $x$ ממשי. הכירו את התכונות הבסיסיות של הפונקציות $e^x$ ו-$\ln x$.
19. $-2e^{-2x}$ — $(e^{-2x})'=-2e^{-2x}$. שימוש בכללי הגזירה (שרשרת/מכפלה/מנה).
20. $2e^x-\frac{1}{x}$ — גוזרים אבר אבר: $2e^x-\frac{1}{x}$.