טריגונומטריה — כיתה י"ב · 4 יח"ל (בינוני)

פתרונות

1. $1$ — הזווית $0^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(0^\circ) = 1$.
2. $0$ — הזווית $0^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(0^\circ) = 0$.
3. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ — הזווית $30^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
4. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הזווית $45^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
5. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הזווית $60^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
6. $\frac{1}{2}$ — הזווית $60^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
7. $0$ — הזווית $90^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(90^\circ) = 0$.
8. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הזווית $120^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
9. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הזווית $135^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
10. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הזווית $135^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
11. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הזווית $150^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
12. $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ — הזווית $150^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(150^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
13. $0$ — הזווית $180^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(180^\circ) = 0$.
14. $-\frac{1}{2}$ — הזווית $210^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(210^\circ) = -\frac{1}{2}$.
15. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הזווית $225^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(225^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
16. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הזווית $225^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(225^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
17. $-\frac{1}{2}$ — הזווית $240^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(240^\circ) = -\frac{1}{2}$.
18. $\sqrt{3}$ — הזווית $240^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(240^\circ) = \sqrt{3}$.
19. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הזווית $300^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(300^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
20. $\frac{1}{2}$ — הזווית $300^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(300^\circ) = \frac{1}{2}$.
21. $\frac{3}{5}$ — לפי הזהות $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ מקבלים $\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}$. ברביע הראשון הקוסינוס חיובי, ולכן $\cos x = \frac{3}{5}$.
22. $-\frac{4}{5}$ — לפי הזהות $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ מקבלים $\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}$. ברביע השני הקוסינוס שלילי, ולכן $\cos x = -\frac{4}{5}$.
23. $-\frac{4}{5}$ — לפי הזהות $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ מקבלים $\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}$. ברביע השלישי הקוסינוס שלילי, ולכן $\cos x = -\frac{4}{5}$.
24. $\frac{3}{5}$ — לפי הזהות $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ מקבלים $\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}$. ברביע הרביעי הקוסינוס חיובי, ולכן $\cos x = \frac{3}{5}$.
25. $\frac{4}{3}$ — לפי ההגדרה $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}$.
26. $-\frac{3}{4}$ — לפי ההגדרה $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$.
27. $\frac{3}{4}$ — לפי ההגדרה $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$.
28. $-\frac{4}{3}$ — לפי ההגדרה $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$.
29. $\cos^2 x$ — לפי הזהויות הטריגונומטריות הבסיסיות, הביטוי $1 - \sin^2 x$ שווה ל-$\cos^2 x$.
30. $\sin^2 x$ — לפי הזהויות הטריגונומטריות הבסיסיות, הביטוי $1 - \cos^2 x$ שווה ל-$\sin^2 x$.
31. $1$ — לפי הזהויות הטריגונומטריות הבסיסיות, הביטוי $\cos^2 x + \sin^2 x$ שווה ל-$1$.
32. $\sin x$ — לפי הזהויות הטריגונומטריות הבסיסיות, הביטוי $\tan x \cdot \cos x$ שווה ל-$\sin x$.
33. $\frac{7}{25}$ — לפי זהות הזווית הכפולה $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\frac{4}{5})^2-(\frac{3}{5})^2 = \frac{7}{25}$.
34. $\frac{24}{25}$ — לפי זהות הזווית הכפולה $\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$.
35. $\frac{119}{169}$ — לפי זהות הזווית הכפולה $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\frac{12}{13})^2-(\frac{5}{13})^2 = \frac{119}{169}$.
36. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — לפי זהות הזווית הכפולה $\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
37. $\frac{1}{2}$ — מחשבים את הזווית שבסוגריים ואז את הערך: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.
38. $1$ — מחשבים את הזווית שבסוגריים ואז את הערך: $\sin 90^\circ = 1$.
39. $-\frac{1}{2}$ — מחשבים את הזווית שבסוגריים ואז את הערך: $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.
40. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — מחשבים את הזווית שבסוגריים ואז את הערך: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.